Упр.214 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

По окружности, длина которой $$60\ \text{м}$$, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на $$5\ \text{с}$$ скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Найдите скорость каждой точки.

Обозначим скорости точек через $$x$$ м/с и $$y$$ м/с, причём $$x>y$$.

Так как длина окружности равна $$60$$ м, то за $$1$$ минуту первая точка проходит на один круг больше, чем вторая, то есть

$$60(x-y)=60,$$

откуда

$$x-y=1.$$

По условию первая точка делает полный оборот на $$5$$ с быстрее второй, значит

$$\frac{60}{x}=\frac{60}{y}-5.$$

Подставим $$y=x-1$$:

$$\frac{60}{x}=\frac{60}{x-1}-5.$$

Умножим на $$x(x-1)$$:

$$60(x-1)=60x-5x(x-1),$$

$$60x-60=60x-5x^2+5x,$$

$$5x^2-5x-60=0,$$

$$x^2-x-12=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)=0.$$

С учётом того, что скорость положительна, получаем $$x=4$$, тогда

$$y=x-1=3.$$

Ответ: $$4$$ м/с и $$3$$ м/с.