Упр.214 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Выведите формулы производных обратных тригонометрических функций.

Найдём производные обратных тригонометрических функций, используя производные составных функций.

а) $$\arcsin x$$

Пусть $$f(x)=\sin(\arcsin x)=x.$$ Тогда

$$f'(x)=(\arcsin x)’\cdot \cos(\arcsin x)=1.$$

Так как

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}=\sqrt{1-x^2},$$

то

$$(\arcsin x)’\cdot \sqrt{1-x^2}=1,$$

откуда

$$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

б) $$\arccos x$$

Пусть $$f(x)=\cos(\arccos x)=x.$$ Тогда

$$f'(x)=-(\arccos x)’\cdot \sin(\arccos x)=1.$$

Так как

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2},$$

то

$$-(\arccos x)’\cdot \sqrt{1-x^2}=1,$$

следовательно,

$$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

в) $$\arctg x$$

Пусть $$f(x)=\tg(\arctg x)=x.$$ Тогда

$$f'(x)=(\arctg x)’\cdot \frac{1}{\cos^2(\arctg x)}=1.$$

Кроме того,

$$\cos(\arctg x)=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2(\arctg x)}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}},$$

значит

$$\frac{1}{\cos^2(\arctg x)}=1+x^2.$$

Тогда

$$(\arctg x)'(1+x^2)=1,$$

откуда

$$(\arctg x)’=\frac{1}{1+x^2}.$$

г) $$\operatorname{arcctg} x$$

Пусть $$f(x)=\ctg(\operatorname{arcctg} x)=x.$$ Тогда

$$f'(x)=(\operatorname{arcctg} x)’\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(\operatorname{arcctg} x)}\right)=1.$$

Так как

$$\sin(\operatorname{arcctg} x)=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2(\operatorname{arcctg} x)}}=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}},$$

то

$$\frac{1}{\sin^2(\operatorname{arcctg} x)}=1+x^2.$$

Следовательно,

$$-(\operatorname{arcctg} x)'(1+x^2)=1,$$

откуда

$$(\operatorname{arcctg} x)’=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Ответ

$$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arctg x)’=\frac{1}{1+x^2},\qquad (\operatorname{arcctg} x)’=-\frac{1}{1+x^2}.$$