Упр.213 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если функция $$f$$ дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений $$x_1$$ и $$x_2$$ выполнено равенство $$f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$$, то $$f(x)=e^{?x}$$ или $$f(x)=0$$.

Пусть $$f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$$ для любых $$x_1,x_2\in \mathbb{R}$$, и функция $$f$$ дифференцируема на всей числовой прямой.

Подставим $$x_1=0$$ и $$x_2=0$$:

$$f(0)=f(0)\cdot f(0),$$

то есть

$$f(0)^2=f(0).$$

Отсюда

$$f(0)=0 \quad \text{или} \quad f(0)=1.$$

1. Если $$f(0)=0$$, то для любого $$x$$

$$f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)=f(x)\cdot 0=0.$$

Значит,

$$f(x)\equiv 0.$$

2. Если $$f(0)=1$$, продифференцируем равенство

$$f(x+h)=f(x)\cdot f(h)$$

по $$h$$ при фиксированном $$x$$ и затем положим $$h=0$$. Получаем:

$$f'(x)=f(x)\cdot f'(0).$$

Обозначим $$a=f'(0)$$. Тогда функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

$$f'(x)=af(x).$$

Его решение имеет вид

$$f(x)=Ce^{ax}.$$

Так как $$f(0)=1$$, то

$$C=1,$$

следовательно,

$$f(x)=e^{ax}.$$

Итак, возможны только два случая:

$$f(x)\equiv 0 \quad \text{или} \quad f(x)=e^{ax}, \; a\in \mathbb{R}.$$

Ответ

$$f(x)\equiv 0 \quad \text{или} \quad f(x)=e^{ax}, \; a\in \mathbb{R}.$$