Упр.212 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно $$1{,}2\ \text{г/см}^3$$ и $$1{,}6\ \text{г/см}^3$$, составлена смесь массой $$60\ \text{г}$$. Сколько граммов каждой жидкости в смеси и какова плотность смеси, если её $$8\ \text{см}^3$$ имеют такую же массу, как масса всей менее тяжёлой из смешанных жидкостей?

Обозначим через $$x$$ массу первой жидкости, а через $$y$$ массу второй жидкости. Тогда

$$x+y=60,$$

откуда

$$y=60-x.$$

Плотности жидкостей равны $$1{,}2\ \text{г/см}^3$$ и $$1{,}6\ \text{г/см}^3$$, значит объёмы этих жидкостей в смеси равны

$$\frac{x}{1{,}2} \quad \text{и} \quad \frac{y}{1{,}6}.$$

По условию, $$8\ \text{см}^3$$ смеси имеют такую же массу, как вся менее тяжёлая жидкость, то есть

$$8\cdot \frac{x+y}{\frac{x}{1{,}2}+\frac{y}{1{,}6}}=x.$$

Подставим $$x+y=60$$ и $$y=60-x$$:

$$8\cdot 60=x\left(\frac{x}{1{,}2}+\frac{60-x}{1{,}6}\right).$$

Умножим на $$24$$:

$$1920=x(20x+15(60-x)),$$

$$1920=x(5x+900),$$

$$5x^2+900x-1920=0,$$

$$x^2+180x-384=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=180^2+4\cdot 384=32400+1536=33936,$$

$$x=\frac{-180\pm \sqrt{33936}}{2}.$$

Подходит положительный корень:

$$x=12.$$

Тогда

$$y=60-12=48.$$

Найдём плотность смеси:

$$\rho=\frac{60}{\frac{12}{1{,}2}+\frac{48}{1{,}6}}=\frac{60}{10+30}=\frac{60}{40}=1{,}5\ \text{г/см}^3.$$

Ответ: $$12\ \text{г}$$ и $$48\ \text{г}$$; $$1{,}5\ \text{г/см}^3$$.