Упр.212 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Верно ли, что функция $$f(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)$$ не имеет производной в точке $$x_0$$, если:

а) $$f_1(x)$$ дифференцируема в точке $$x_0$$, а $$f_2(x)$$ нет;

б) обе функции не имеют производной в точке $$x_0$$?

а) Пусть $$f_1(x)=x,$$ $$f_2(x)=|x|.$$ Тогда

$$\varphi(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)=x|x|,\qquad x_0=0.$$

Найдём производную в точке $$x=0$$:

$$\varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{x} =\lim_{x\to 0}|x|=0.$$

Значит, функция $$\varphi(x)$$ имеет производную в точке $$x_0=0$$.

б) Пусть

$$f_1(x)=\sqrt[3]{x^2},\qquad f_2(x)=\sqrt[3]{x^2}.$$

Тогда

$$\varphi(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)=\sqrt[3]{x^4},\qquad x_0=0.$$

Проверим производную в точке $$x=0$$:

$$\varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^4}}{x} =\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x}=0.$$

Следовательно, и в этом случае функция $$\varphi(x)$$ имеет производную в точке $$x_0=0$$.

Ответ: нет; нет.