Упр.211 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Двое рабочих совместно могут выполнить плановое задание за 12 дней. Если половину задания будет выполнять один рабочий, а затем вторую половину — другой, то всё задание будет выполнено за 25 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый рабочий?

Обозначим через $$x$$ и $$y$$ число дней, за которое каждый рабочий выполнит всё задание в одиночку.

Тогда их совместная производительность равна

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$

Если первый рабочий выполнит половину задания, а второй — вторую половину, то получим

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25,$$

откуда

$$x+y=50.$$

Подставим $$y=50-x$$ в первое уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{50-x}=\frac{1}{12}.$$

Умножим на $$12x(50-x)$$:

$$12(50-x)+12x=x(50-x).$$

Получаем

$$600=x(50-x),$$

$$x^2-50x+600=0.$$

Найдём корни:

$$D=50^2-4\cdot 600=2500-2400=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{50\pm 10}{2}.$$

Следовательно,

$$x_1=20,\quad x_2=30.$$

Тогда

$$y_1=50-20=30,\quad y_2=50-30=20.$$

Значит, один рабочий может выполнить задание за $$20$$ дней, а другой — за $$30$$ дней.

Ответ: $$20$$ дней и $$30$$ дней.