Упр.211 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$f(x)=(x^2)^{1/3}$$ не имеет производной в точке $$0$$.

Рассмотрим производную функции в точке $$x_0=0$$:

$$f(x)=\sqrt[3]{x^2}, \qquad f(0)=0.$$

Тогда

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}.$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.$$

Но при $$x\to 0$$ выражение $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$$ не имеет конечного предела: при $$x\to 0+$$ оно стремится к $$+\infty$$, а при $$x\to 0-$$ — к $$-\infty$$. Следовательно, предел не существует.

Значит, производная функции $$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$ в точке $$0$$ не существует.

Ответ

$$f'(0)$$ не существует.