Упр.21 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите иррациональность чисел: а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$; б) $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$; г) $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$$.

а) Пусть $$\sqrt{3}+\sqrt{5}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{15}=r^2-8,\qquad \sqrt{15}=\frac{r^2-8}{2}.$$

Если бы $$r$$ было рациональным, то и $$\sqrt{15}$$ было бы рациональным, что неверно. Значит, $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ — иррациональное число.

б) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}.$$

Следовательно,

$$2\sqrt{6}=r^2-5,\qquad \sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}.$$

Если бы $$r$$ было рациональным, то и $$\sqrt{6}$$ было бы рациональным, что невозможно. Значит, $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ иррационально.

в) Преобразуем дробь:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$$

Пусть $$\sqrt{3}-\sqrt{2}=r.$$ Тогда

$$r^2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}.$$

Отсюда

$$2\sqrt{6}=5-r^2,\qquad \sqrt{6}=\frac{5-r^2}{2}.$$

Если бы $$r$$ было рациональным, то и $$\sqrt{6}$$ было бы рациональным, что неверно. Значит, $$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$ иррационально.

г) Пусть $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=r.$$ Тогда

$$r-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}.$$

Возведём в куб:

$$3=(r-\sqrt{2})^3=r^3-3\sqrt{2}\,r^2+6r-2\sqrt{2}.$$

Перенесём слагаемые с $$\sqrt{2}$$ в одну сторону:

$$3r^2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=r^3+6r-3,$$

$$\sqrt{2}=\frac{r^3+6r-3}{3r^2+2}.$$

Если бы $$r$$ было рациональным, то и $$\sqrt{2}$$ было бы рациональным, что невозможно. Следовательно, $$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$$ иррационально.

Ответ

а) иррационально; б) иррационально; в) иррационально; г) иррационально.