Упр.209 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пользуясь определением производной, докажите, что функция $$f$$ дифференцируема в точке $$x_0$$, если:
   а) $$f(x)=x|x|,\quad x_0=0$$;
   б) $$f(x)=|x^2-1|(x+1),\quad x_0=-1$$;
   в) $$f(x)=\begin{cases}x^2-1, & x\leqslant 1,\\ x^3-x, & x>1,\end{cases}\quad x_0=1$$;
   г) $$f(x)=\begin{cases}x^2, & x\geqslant 0,\\ x^3, & x<0,\end{cases}\quad x_0=0$$.

а) $$f(x)=x|x|,\quad x_0=0.$$

По определению производной:

$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{x|x|}{x} =\lim_{x\to 0}|x|=0.$$

Следовательно, функция дифференцируема в точке $$x_0=0$$, и $$f'(0)=0$$.

б) $$f(x)=|x^2-1|(x+1),\quad x_0=-1.$$

Так как $$f(-1)=|(-1)^2-1|(-1+1)=0,$$ то

$$f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} =\lim_{x\to -1}\frac{|x^2-1|(x+1)}{x+1} =\lim_{x\to -1}|x^2-1|=0.$$

Значит, функция дифференцируема в точке $$x_0=-1$$, и $$f'(-1)=0$$.

в) $$f(x)= \begin{cases} x^2-1, & x\le 1,\\ x^3-x, & x>1, \end{cases} \quad x_0=1.$$

Сначала найдём значение функции в точке $$x=1$$:

$$f(1)=1^2-1=0.$$

Левая производная:

$$f’_-(1)=\lim_{x\to 1-}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to 1-}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =\lim_{x\to 1-}(x+1)=2.$$

Правая производная:

$$f’_+(1)=\lim_{x\to 1+}\frac{x^3-x}{x-1} =\lim_{x\to 1+}\frac{x(x^2-1)}{x-1} =\lim_{x\to 1+}x(x+1)=2.$$

Так как $$f’_-(1)=f’_+(1)=2,$$ функция дифференцируема в точке $$x_0=1$$, и $$f'(1)=2$$.

г) $$f(x)= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ x^3, & x<0, \end{cases} \quad x_0=0.$$

Имеем $$f(0)=0.$$ Тогда

$$f’_+(0)=\lim_{x\to 0+}\frac{x^2-0}{x} =\lim_{x\to 0+}x=0,$$

$$f’_-(0)=\lim_{x\to 0-}\frac{x^3-0}{x} =\lim_{x\to 0-}x^2=0.$$

Левая и правая производные равны, значит, функция дифференцируема в точке $$x_0=0$$, и $$f'(0)=0$$.

Ответ

Во всех пунктах функция дифференцируема в указанной точке:
а) $$f'(0)=0$$;
б) $$f'(-1)=0$$;
в) $$f'(1)=2$$;
г) $$f'(0)=0$$.