Упр.208 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

208. Пользуясь доказанными признаками (см. № 207), найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) $$f(x)=2x^2$$; б) $$f(x)=3-4x$$; в) $$f(x)=3-x^2$$; г) $$f(x)=1-\frac{2}{x}$$.

а) Для функции $$f(x)=2x^2$$ имеем

$$f'(x)=4x.$$

При $$x<0$$ производная отрицательна, значит функция убывает; при $$x>0$$ производная положительна, значит функция возрастает.

Следовательно, $$f(x)=2x^2$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

б) Для функции $$f(x)=3-4x$$ имеем

$$f'(x)=-4<0.$$

Значит, функция убывает на всей области определения:

$$(-\infty;+\infty).$$

в) Для функции $$f(x)=3-x^2$$ имеем

$$f'(x)=-2x.$$

Если $$x<0$$, то $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает; если $$x>0$$, то $$f'(x)<0$$, значит функция убывает.

Следовательно, $$f(x)=3-x^2$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

г) Для функции $$f(x)=1-\dfrac{2}{x}$$, $$x\neq 0,$$ имеем

$$f'(x)=\dfrac{2}{x^2}.$$

Так как $$\dfrac{2}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0,$$ функция возрастает на каждом из промежутков области определения:

$$(-\infty;0) \text{ и } (0;+\infty).$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty);$$
б) убывает на $$(-\infty;+\infty);$$
в) возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty);$$
г) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty).$$