Упр.207 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть при $$x \to a$$ выполняется $$f(x)\to A$$ и $$g(x)\to B$$.

1. Для постоянной $$C$$ имеем $$C \cdot f(x)\to C \cdot A$$, так как умножение на постоянную сохраняет предел:

   $$\lim_{x\to a} C f(x)=C\lim_{x\to a} f(x)=CA.$$

2. Для разности:

   $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\lim_{x\to a} f(x)-\lim_{x\to a} g(x)=A-B.$$

3. Для разности квадратов:

   $$f(x)^2-g(x)^2=\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\bigl(f(x)+g(x)\bigr).$$

   Тогда

   $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)^2-g(x)^2\bigr)=\bigl(A-B\bigr)\bigl(A+B\bigr)=A^2-B^2.$$

4. Для целой степени $$n\in \mathbb{Z}$$:

   $$\bigl(f(x)\bigr)^n=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot \ldots \cdot f(x)}_{n\ \text{раз}}.$$

   Переходя к пределу, получаем

   $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\bigr)^n=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n\ \text{раз}}=A^n.$$

Ответ: $$\lim_{x\to a} C f(x)=CA,$$ $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=A-B,$$ $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)^2-g(x)^2\bigr)=A^2-B^2,$$ $$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)\bigr)^n=A^n.$$