Упр.207 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Докажите признак возрастания функции: функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых двух значений аргумента $$x$$ и $$x+\Delta x$$, где $$\Delta x>0$$, из промежутка $$I$$ выполняется условие $$\frac{\Delta f}{\Delta x}>0$$.
   б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке $$I$$.

Пусть $$\Delta x\neq 0$$ и обе точки $$x$$ и $$x+\Delta x$$ принадлежат промежутку $$I$$.

а) Признак возрастания

Функция $$f$$ возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых таких $$x$$ и $$x+\Delta x$$ выполняется

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0.$$

Докажем это.

Если $$\Delta x>0$$, то из возрастания функции следует $$f(x+\Delta x)>f(x)$$, значит

$$f(x+\Delta x)-f(x)>0,$$

и потому

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0.$$

Если $$\Delta x<0$$, то из условия возрастания при $$x+\Delta x<x$$ получаем $$f(x+\Delta x)<f(x)$$, то есть

$$f(x+\Delta x)-f(x)<0.$$

Так как числитель и знаменатель отрицательны, то

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}>0.$$

Обратно, если для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$ выполнено $$\frac{\Delta f}{\Delta x}>0$$, то при $$\Delta x>0$$ имеем $$f(x+\Delta x)-f(x)>0$$, то есть $$f(x+\Delta x)>f(x)$$. Следовательно, функция возрастает на $$I$$.

б) Признак убывания

Функция $$f$$ убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$, где $$\Delta x\neq 0$$, выполняется

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$

Доказательство аналогично.

Если $$\Delta x>0$$, то из убывания функции следует $$f(x+\Delta x)<f(x)$$, значит

$$f(x+\Delta x)-f(x)<0,$$

и потому

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$

Если $$\Delta x<0$$, то из убывания при $$x+\Delta x<x$$ получаем $$f(x+\Delta x)>f(x)$$, то есть

$$f(x+\Delta x)-f(x)>0.$$

Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, то

$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}<0.$$

Обратно, если для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$ выполнено $$\frac{\Delta f}{\Delta x}<0$$, то при $$\Delta x>0$$ имеем $$f(x+\Delta x)-f(x)<0$$, следовательно, $$f(x+\Delta x)<f(x)$$. Значит, функция убывает на $$I$$.

Ответ

Функция возрастает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых $$x$$ и $$x+\Delta x$$ из $$I$$, $$\Delta x\neq 0$$, выполняется $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}>0$$. Аналогично, функция убывает на промежутке $$I$$ тогда и только тогда, когда для любых таких $$x$$ и $$x+\Delta x$$ выполняется $$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}<0$$.