Упр.206 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   
   а) $$\begin{cases}3^{\cos x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\cos y},\\ \log_2(\sin x-\cos y)+\log_2(\sin x+\cos y)=-1;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}\log_2(\sin x)+\log_2(\sin y)=-2,\\ \log_3(\cos x)+\log_3(\cos y)=1-\log_3 4.\end{cases}$$

а)

Из первого уравнения получаем:

$$3^{\cos x}=\left(\frac13\right)^{\cos y}=3^{-\cos y},$$

значит,

$$\cos x=-\cos y.$$

Тогда из области определения логарифмов:

$$\sin x-\cos y>0,\qquad \sin x+\cos y>0.$$

С учётом $$\cos y=-\cos x$$ получаем:

$$\sin x+\cos x>0,\qquad \sin x-\cos x>0.$$

Перемножим аргументы логарифмов во втором уравнении:

$$\log_2\bigl((\sin x-\cos y)(\sin x+\cos y)\bigr)=-1,$$

то есть

$$\sin^2 x-\cos^2 y=\frac12.$$

Так как $$\cos y=-\cos x,$$ то

$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12,$$

$$-\cos 2x=\frac12,$$

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Проверим значения с учётом условий $$\sin x+\cos x>0$$ и $$\sin x-\cos x>0$$.

1) Если $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$\cos x=\frac12,\qquad \cos y=-\frac12,$$

следовательно,

$$y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k.$$

2) Если $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$\cos x=-\frac12,\qquad \cos y=\frac12,$$

следовательно,

$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k.$$

Итак,

$$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\qquad \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k\right).$$

б)

Из первого уравнения:

$$\log_2(\sin x)+\log_2(\sin y)=-2,$$

$$\log_2(\sin x\sin y)=-2,$$

$$\sin x\sin y=2^{-2}=\frac14.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3(\cos x)+\log_3(\cos y)=1-\log_3 4,$$

$$\log_3(\cos x\cos y)=\log_3\frac34,$$

$$\cos x\cos y=\frac34.$$

Сложим полученные равенства:

$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1.$$

Но

$$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y,$$

значит,

$$\cos(x-y)=1,$$

$$x-y=2\pi n,$$

то есть

$$y=x-2\pi n.$$

Подставим в $$\sin x\sin y=\frac14$$ и $$\cos x\cos y=\frac34$$:

$$\sin^2 x=\frac14,\qquad \cos^2 x=\frac34.$$

С учётом области определения логарифмов $$\sin x>0$$ и $$\cos x>0$$ получаем:

$$\sin x=\frac12,\qquad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}+2\pi k.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k\right);$$

б) $$\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$