Упр.205 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}\log_x y=2,\\ \log_{x+1}(y+23)=3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}(x+y)^x=(x-y)^y,\\ \log_2 x=1+\log_2 y;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}(x-y)^{2y-x}=125,\\ \lg\bigl(2(x-y)\bigr)=1;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}2\log_2 x-3^y=15,\\ 3^y\cdot\log_2 x=2^{\log_2 x}+3^{y+1}.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения получаем $$\log_x y=2 \Rightarrow y=x^2.$$
Из второго уравнения:
$$\log_{x+1}(y+23)=3 \Rightarrow y+23=(x+1)^3.$$
Подставим $$y=x^2$$:
$$x^2+23=(x+1)^3,$$
$$x^2+23=x^3+3x^2+3x+1,$$
$$x^3+2x^2+3x-22=0.$$
Проверим целый корень: $$x=2$$.
Тогда
$$x^3+2x^2+3x-22=(x-2)(x^2+4x+11).$$
У квадратного трёхчлена дискриминант отрицателен:
$$D=4^2-4\cdot 11=16-44<0.$$
Значит, $$x=2,$$ и тогда $$y=2^2=4.$$
б) Из второго уравнения:
$$\log_2 x=1+\log_2 y=\log_2 2+\log_2 y=\log_2(2y),$$
следовательно,
$$x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(x+y)^x=(x-y)^y \Rightarrow (2y+y)^{2y}=(2y-y)^y,$$
$$(3y)^{2y}=y^y.$$
Тогда
$$3^{2y}\cdot y^{2y}=y^y,$$
$$9^y\cdot y^y=1,$$
$$(9y)^y=1.$$
Отсюда возможны случаи:
$$y=0 \quad \text{или} \quad 9y=1.$$
При $$y=0$$ получаем $$x=0,$$ но логарифм $$\log_2 x$$ не определён. Значит,
$$y=\frac19,\qquad x=2y=\frac29.$$
в) Из второго уравнения:
$$\lg\bigl(2(x-y)\bigr)=1 \Rightarrow 2(x-y)=10,$$
$$x-y=5,$$
$$y=x-5.$$
Подставим в первое уравнение:
$$(x-y)^{2y-x}=125 \Rightarrow 5^{2(x-5)-x}=125,$$
$$5^{x-10}=5^3,$$
$$x-10=3,\qquad x=13.$$
Тогда
$$y=13-5=8.$$
г) Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда из первого уравнения:
$$2t-3^y=15 \Rightarrow 3^y=2t-15.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^y\log_2 x=2\log_2 x+3^{y+1},$$
$$t(2t-15)=2t+3(2t-15),$$
$$2t^2-15t=8t-45,$$
$$2t^2-23t+45=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=23^2-4\cdot 2\cdot 45=529-360=169,$$
$$t_1=\frac{23-13}{4}=\frac52,\qquad t_2=\frac{23+13}{4}=9.$$
Проверим значения:
при $$t=\frac52$$ имеем $$3^y=2\cdot \frac52-15=-10,$$ что невозможно;
при $$t=9$$ имеем $$3^y=18-15=3,$$ значит, $$y=1.$$
Тогда
$$\log_2 x=9 \Rightarrow x=2^9=512.$$
Ответ: а) $$\left(2;4\right)$$; б) $$\left(\frac29;\frac19\right)$$; в) $$\left(13;8\right)$$; г) $$\left(512;1\right)$$.
