Упр.204 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что неравенство $$\log(a; x^2-x-2)>\log(a; 3+2x-x^2)$$ выполняется при $$x=\frac{a}{4}$$. Найдите все решения этого неравенства.

Пусть

$$\log_a(x^2-x-2)>\log_a(3+2x-x^2), \qquad x=\frac a4.$$

Тогда $$a=4x,$$ и неравенство можно переписать так:

$$\log_{4x}(x^2-x-2)>\log_{4x}(3+2x-x^2).$$

Так как основания логарифмов одинаковы, сравним аргументы с учётом области определения.

Разложим выражения на множители:

$$x^2-x-2=(x+1)(x-2), \qquad 3+2x-x^2=(x+1)(3-x).$$

Тогда

$$\log_{4x}\bigl((x+1)(x-2)\bigr)>\log_{4x}\bigl((x+1)(3-x)\bigr).$$

Для существования логарифмов нужно:

$$4x>0,\qquad 4x\ne 1,$$

$$(x+1)(x-2)>0,\qquad (x+1)(3-x)>0.$$

Из условий на аргументы получаем:

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2,$$

$$-1<x<3.$$

Пересечение даёт:

$$2<x<3.$$

Теперь рассмотрим знак основания. Так как $$a=4x,$$ то при $$2<x<3$$ имеем $$a>1,$$ значит логарифмическая функция возрастает, и неравенство равносильно

$$x^2-x-2>3+2x-x^2.$$

Решим его:

$$x^2-x-2>3+2x-x^2$$

$$2x^2-3x-5>0$$

$$\frac{(2x-5)(x+1)}{1}>0.$$

С учётом уже найденного промежутка $$2<x<3$$ получаем

$$x>\frac52.$$

Следовательно,

$$\frac52<x<3.$$

Ответ: $$\left(\frac52;3\right).$$