Упр.203 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$\log_{x-3}(x-4)<2$$; б) $$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)}<1$$; в) $$\log_{x^2}\left(\frac{4x-5}{|x-2|}\right)?\frac{1}{2}$$; г) $$\log_x\left(\log_9(3^x-9)\right)<1$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_{x-3}(x-4)<2.$$

Для области определения нужно:

$$x-3>0,\quad x-3\ne 1,\quad x-4>0.$$

Отсюда получаем $$x>4.$$

Так как при $$x>4$$ основание логарифма больше 1, то неравенство равносильно

$$x-4<(x-3)^2.$$

Тогда

$$x-4<x^2-6x+9 \\\\ x^2-7x+13>0.$$

Дискриминант:

$$D=49-52=-3<0.$$

Значит, $$x^2-7x+13>0$$ при всех $$x$$, удовлетворяющих ОДЗ. Следовательно,

$$x\in(4;+\infty).$$

б) Решим неравенство $$2^{\log_{2-x}(x^2+8x+15)}<1.$$

Так как $$2^t<1 \iff t<0,$$ получаем

$$\log_{2-x}(x^2+8x+15)<0.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$2-x>1,$$ то $$x<1.$$ Тогда

$$x^2+8x+15<1,$$

то есть

$$x^2+8x+14<0 \\\\ (x+4-\sqrt2)(x+4+\sqrt2)<0.$$

Отсюда

$$-4-\sqrt2<x<-4+\sqrt2.$$

С учётом $$x<1$$ получаем тот же промежуток.

Если $$0<2-x<1,$$ то $$x>1.$$ Тогда нужно

$$x^2+8x+15>1,$$

то есть

$$x^2+8x+14>0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена: $$x=-4\pm\sqrt2.$$ При $$x>1$$ получаем $$x>-4+\sqrt2,$$ но ещё нужно учесть ОДЗ:

$$x^2+8x+15>0,\quad 2-x>0.$$

Из них

$$(x+5)(x+3)>0,\quad x<2,$$

то есть

$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>-3,\quad x<2.$$

Пересечение с $$x>1$$ даёт $$1<x<2.$$

Итак,

$$x\in(-4-\sqrt2;\,-4+\sqrt2)\cup(1;2).$$

в) Решим неравенство $$\log_{x^2}\!\left(\frac{4x-5}{|x-2|}\right)\ge \frac12.$$

Для ОДЗ нужно:

$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad \frac{4x-5}{|x-2|}>0,\quad x\ne 2.$$

Так как основание $$x^2>1$$ при $$|x|>1,$$ рассмотрим этот случай. Тогда

$$\log_{x^2}A\ge \frac12 \iff A\ge \sqrt{x^2}=|x|,$$

где $$A=\dfrac{4x-5}{|x-2|}.$$

1) Если $$x\le 0$$ или $$x\ge 2,$$ то $$|x-2|=2-x$$ при $$x\le 0$$ и $$|x-2|=x-2$$ при $$x\ge 2.$$

В итоге получаем решение на этом промежутке:

$$2<x\le 5.$$

2) Если $$0\le x\le 5,$$ то $$|x|=x,$$ и неравенство сводится к

$$\frac{4x-5}{|x-2|}\ge x.$$

При $$0\le x<2$$ имеем $$|x-2|=2-x,$$ поэтому

$$4x-5\ge x(2-x) \\\\ x^2+2x-5\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge -1+\sqrt6.$$

С учётом $$0\le x<2$$ получаем $$[\sqrt6-1;2).$$

Объединяя результаты и учитывая ОДЗ, получаем

$$x\in[\sqrt6-1;\,2)\cup(2;\,5].$$

г) Решим неравенство $$\log_x\!\bigl(\log_9(3^x-9)\bigr)<1.$$

Для ОДЗ нужно:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad \log_9(3^x-9)>0.$$

Из последнего:

$$3^x-9>1 \quad \Rightarrow \quad 3^x>10 \quad \Rightarrow \quad x>\log_3 10.$$

Так как $$\log_3 10>1,$$ то на ОДЗ основание $$x>1,$$ и функция $$\log_x y$$ возрастает. Поэтому

$$\log_9(3^x-9)<x.$$

Но при $$x>\log_3 10$$ имеем

$$\log_9(3^x-9)>0,$$

и неравенство сводится к выполнению ОДЗ. Следовательно,

$$x\in(\log_3 10;+\infty).$$

Ответ

а) $$\,(4;+\infty)\,;$$ б) $$\,(-4-\sqrt2;\,-4+\sqrt2)\cup(1;2)\,;$$ в) $$\,[\sqrt6-1;2)\cup(2;5]\,;$$ г) $$\,(\log_3 10;+\infty).$$