Упр.202 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$\log(2;2^x-1)\log\left(\frac{1}{2};2^{x+1}-2\right)>2$$;
   б) $$3^{\log^2(3;x)}+x^{\log(3;x)}<6$$;
   в) $$3^{\lg(x)+2}<3^{\lg(2x)+5}-2$$;
   г) $$5^{\log^2(5;x)}+x^{\log(5;x)}<10$$.

а) $$\log_2(2^x-1)\log_{\frac12}(2^{x+1}-2)>2.$$

Так как $$\log_{\frac12}A=-\log_2A,$$ то

$$-\log_2(2^x-1)\cdot \log_2\bigl(2(2^x-1)\bigr)>2.$$

Пусть $$y=\log_2(2^x-1).$$ Тогда

$$-y(1+y)>2,$$

$$y^2+y+2<0.$$

Но $$D=1-8=-7<0,$$ значит, неравенство не имеет решений.

б) $$3^{\log_3^2 x}+x^{\log_3 x}<6.$$

Так как $$x^{\log_3 x}=3^{\log_3^2 x},$$ получаем

$$2\cdot 3^{\log_3^2 x}<6,$$

$$3^{\log_3^2 x}<3,$$

$$\log_3^2 x<1.$$

Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда

$$t^2<1,\quad -1

Следовательно,

$$\frac13<x<3.$$

в) $$3^{\lg x+2}<3^{\lg(2x)+5}-2.$$

Преобразуем:

$$9\cdot 3^{\lg x}<3^{\lg 2+\lg x+5}-2,$$

$$9\cdot 3^{\lg x}<3^{\lg 2+5}\cdot 3^{\lg x}-2,$$

$$3^{\lg x}\bigl(3^{\lg 2+5}-9\bigr)>2.$$

Так как $$3^{\lg x}=x^{\lg 3},$$ то

$$x^{\lg 3}>\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}.$$

Переходя к логарифму по основанию $$3,$$ получаем

$$\lg x>\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}.$$

Значит,

$$x>10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}}.$$

г) $$5^{\log_5^2 x}+x^{\log_5 x}<10.$$

Так как $$x^{\log_5 x}=5^{\log_5^2 x},$$ то

$$2\cdot 5^{\log_5^2 x}<10,$$

$$5^{\log_5^2 x}<5,$$

$$\log_5^2 x<1.$$

Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда

$$t^2<1,\quad -1<t<1.$$

Следовательно,

$$\frac15<x<5.$$

Ответ

а) решений нет; б) $$\left(\frac13;3\right)$$; в) $$\left(10^{\log_3\frac{2}{3^{\lg 2+5}-9}};\infty\right)$$; г) $$\left(\frac15;5\right).$$