Упр.201 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенства:
- $$\log(2; 1+\log(1/9; x)-\log(9; x))<1$$;
- $$\log^2(2; (x-1)^2)-\log(0,5; (x-1))>5$$;
- $$\log(1/2; \log(2; \log(x-1; 9)))>0$$;
- $$\log(2; \log(1/2; \log(5; x)))>0$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$\log_2\!\left(1+\log_{\frac19}x-\log_9x\right)<1.$$
Преобразуем логарифмы:
$$\log_{\frac19}x=-\log_9x,$$
тогда
$$\log_2\!\left(1-2\log_9x\right)<1.$$
Так как основание $$2>1$$, получаем
$$1-2\log_9x<2,$$
откуда
$$\log_9x>-\frac12,$$
$$x>9^{-1/2}=\frac13.$$
Теперь учтём область определения и второе условие:
$$1-2\log_9x>0,$$
$$\log_9x<\frac12,$$
$$x<9^{1/2}=3.$$
Итак,
$$x\in\left(\frac13;3\right).$$
б) Решим неравенство
$$\log_2^2(x-1)-\log_{0,5}(x-1)>5.$$
Пусть
$$y=\log_2(x-1).$$
Тогда
$$\log_{0,5}(x-1)=\log_{\frac12}(x-1)=-\log_2(x-1)=-y,$$
и неравенство принимает вид
$$y^2+y>5,$$
$$y^2+y-5>0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1+20=21,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}.$$
Тогда
$$y<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad y>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем
$$\log_2(x-1)<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\quad \text{или}\quad \log_2(x-1)>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$$
Отсюда
$$1<x<1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}} \quad \text{или}\quad x>1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}.$$
С учётом области определения $$x>1$$ ответ:
$$x\in\left(1;1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}};+\infty\right).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\log_{\frac12}\!\bigl(\log_2(\log_{x-1}9)\bigr)>0.$$
Так как основание $$\frac12<1$$, то
$$0<\log_2(\log_{x-1}9)<1.$$
Из этого следует:
$$1<\log_{x-1}9<2.$$
Пусть $$a=x-1$$. Тогда нужно решить
$$1<\log_a9<2.$$
При $$a>1$$ имеем
$$a<9<a^2.$$
Из неравенства $$a<9$$ и $$a^2<9$$ получаем
$$3<a<9,$$
то есть
$$4<x<10.$$
Следовательно,
$$x\in(4;10).$$
г) Решим неравенство
$$\log_2\!\left(\log_{\frac12}(\log_5x)\right)>0.$$
Так как основание $$2>1$$, то
$$\log_{\frac12}(\log_5x)>1.$$
Поскольку основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$\log_5x<\frac12.$$
При этом для существования логарифма нужно
$$\log_5x>0.$$
Итак,
$$0<\log_5x<\frac12.$$
Отсюда
$$1<x<\sqrt5.$$
Следовательно,
$$x\in(1;\sqrt5).$$
Ответ
а) $$\left(\frac13;3\right);$$ б) $$\left(1;1+2^{\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\right)\cup\left(1+2^{\frac{-1+\sqrt{21}}{2}};+\infty\right);$$ в) $$\left(4;10\right);$$ г) $$\left(1;\sqrt5\right).$$
