Упр.200 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ уравнение $$x\ln|x|=a$$ имеет один корень?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x\ln|x|,\qquad x\ne 0.$$

Она нечётная, так как

$$f(-x)=-x\ln|x|=-f(x).$$

Найдём её поведение при $$x>0$$:

$$f'(x)=\ln x+1.$$

Отсюда $$f'(x)=0$$ при $$x=\dfrac1e$$, а значит, на промежутке $$x>0$$ функция убывает на $$\left(0,\dfrac1e\right)$$ и возрастает на $$\left(\dfrac1e,+\infty\right).$$

Минимальное значение при $$x>0$$ равно

$$f\!\left(\dfrac1e\right)=\dfrac1e\ln\dfrac1e=-\dfrac1e.$$

Так как функция нечётная, на $$x<0$$ она принимает значения, симметричные относительно начала координат, то есть максимальное значение на отрицательной ветви равно $$\dfrac1e$$.

Следовательно:

• при $$|a|<\dfrac1e$$ уравнение имеет три корня;
• при $$|a|=\dfrac1e$$ — два корня;
• при $$|a|>\dfrac1e$$ — один корень.

Ответ: $$|a|>\dfrac1e.$$