Упр.20 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите рациональность числа:
а) $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-2\sqrt{6}$$;
б) $$(\sqrt{2}+1)^2+(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)$$;
в) $$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\sqrt{35}$$;
г) $$(3\sqrt{18}+2\sqrt{8}+4\sqrt{50}):\sqrt{2}$$.
а) $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-2\sqrt{6}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}-2\sqrt{6}$$
$$=\frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2}-2\sqrt{6}=(5+2\sqrt{6})-2\sqrt{6}=5\in \mathbb{Q}.$$
б) $$\left(\sqrt{2}+1\right)^2+\left(1-\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{7}+1\right)\left(\sqrt{7}-1\right)$$
$$=(2+2\sqrt{2}+1)+(1-2\sqrt{2}+2)-(7-1)=0\in \mathbb{Q}.$$
в) $$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\sqrt{35}=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}-\sqrt{35}$$
$$=\frac{7+2\sqrt{35}+5}{7-5}-\sqrt{35}=(6+\sqrt{35})-\sqrt{35}=6\in \mathbb{Q}.$$
г) $$\left(3\sqrt{18}+2\sqrt{8}+4\sqrt{50}\right):\sqrt{2}=3\sqrt{9}+2\sqrt{4}+4\sqrt{25}$$
$$=3\cdot 3+2\cdot 2+4\cdot 5=9+4+20=33\in \mathbb{Q}.$$
Ответ: а) $$5$$; б) $$0$$; в) $$6$$; г) $$33$$.
