Упр.20 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Основные свойства функции $$y=\tg x$$:

• область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• область значений: $$E(y)=\mathbb{R}$$;
• функция нечётная: $$\tg(-x)=-\tg x$$;
• период функции: $$T=\pi$$;
• нули функции: $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$;
• возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$;
• $$\tg x>0$$ при $$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$;
• $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right)$$.

2) Пользуясь возрастанием функции $$\tg x$$ на каждом промежутке её определения, получаем:

1. $$-\frac{\pi}{2}<-0{,}4<0{,}8<1{,}2<\frac{\pi}{2}$$, значит
   $$\tg(-0{,}4),\ \tg(0{,}8),\ \tg(1{,}2)$$
   в порядке возрастания:
   $$\tg(-0{,}4)<\tg(0{,}8)<\tg(1{,}2).$$
2. $$\frac{\pi}{2}<1{,}6<2{,}8<3{,}9<\frac{3\pi}{2}$$, значит
   $$\tg(1{,}6)<\tg(2{,}8)<\tg(3{,}9).$$
3. $$-\frac{\pi}{2}<-1{,}3<-0{,}7<0{,}6<\frac{\pi}{2}$$, значит
   $$\tg(-1{,}3)<\tg(-0{,}7)<\tg(0{,}6).$$
4. $$\frac{\pi}{2}<1{,}7<2{,}5<4{,}3<\frac{3\pi}{2}$$, значит
   $$\tg(1{,}7)<\tg(2{,}5)<\tg(4{,}3).$$

3) Исследуем функции.

1. $$y=-\tg x$$
   • область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • область значений: $$E(y)=\mathbb{R}$$;
   • период: $$T=\pi$$;
   • функция нечётная;
   • убывает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$;
   • $$y=0$$ при $$x=\pi n$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$.
2. $$y=\tg\frac{x}{2}$$
   • область определения: $$x\neq \pi+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • область значений: $$E(y)=\mathbb{R}$$;
   • период: $$T=2\pi$$;
   • функция нечётная;
   • возрастает на каждом промежутке $$\left(-\pi+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)$$;
   • $$y=0$$ при $$x=2\pi n$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right)$$.
3. $$y=2\tg x$$
   • область определения: $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • область значений: $$E(y)=\mathbb{R}$$;
   • период: $$T=\pi$$;
   • функция нечётная;
   • возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$;
   • $$y=0$$ при $$x=\pi n$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right)$$.
4. $$y=\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$
   • область определения: $$x\neq \frac{3\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
   • область значений: $$E(y)=\mathbb{R}$$;
   • период: $$T=\pi$$;
   • функция не является нечётной;
   • возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right)$$;
   • $$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right)$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right)$$.

Ответ: свойства функции $$y=\tg x$$ указаны в п. 1; в п. 2 получаем порядки:
$$\tg(-0{,}4)<\tg(0{,}8)<\tg(1{,}2),$$
$$\tg(1{,}6)<\tg(2{,}8)<\tg(3{,}9),$$
$$\tg(-1{,}3)<\tg(-0{,}7)<\tg(0{,}6),$$
$$\tg(1{,}7)<\tg(2{,}5)<\tg(4{,}3).$$