Упр.20 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите иррациональность чисел: а) $$\sqrt{3}$$; б) $$\sqrt[3]{3}$$; в) $$\lg 5$$; г) $$\log_2 9$$.
а) Предположим, что $$\sqrt{3}=\frac{p}{q},$$ где $$p$$ и $$q$$ — целые взаимно простые числа, $$q\neq 0$$. Тогда
$$q\sqrt{3}=p,$$
возведём в квадрат:
$$3q^2=p^2.$$
Отсюда следует, что $$p^2$$ делится на $$3$$, значит, $$p$$ делится на $$3$$. Пусть $$p=3k$$. Тогда
$$3q^2=9k^2,$$
$$q^2=3k^2.$$
Следовательно, $$q^2$$ делится на $$3$$, значит, $$q$$ тоже делится на $$3$$. Получаем противоречие с тем, что дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима. Значит, $$\sqrt{3}$$ — иррациональное число.
б) Предположим, что $$\sqrt[3]{3}=\frac{p}{q},$$ где $$p$$ и $$q$$ — целые взаимно простые числа, $$q\neq 0$$. Тогда
$$q\sqrt[3]{3}=p,$$
возведём в куб:
$$3q^3=p^3.$$
Отсюда $$p^3$$ делится на $$3$$, значит, $$p$$ делится на $$3$$. Пусть $$p=3k$$. Тогда
$$3q^3=27k^3,$$
$$q^3=9k^3.$$
Следовательно, $$q^3$$ делится на $$3$$, значит, $$q$$ делится на $$3$$. Получаем противоречие. Значит, $$\sqrt[3]{3}$$ — иррациональное число.
в) Предположим, что $$\lg 5=\frac{p}{q},$$ где $$p$$ и $$q$$ — целые числа, $$q\neq 0$$. Тогда
$$10^{\frac{p}{q}}=5,$$
возведём в степень $$q$$:
$$10^p=5^q.$$
Левая часть делится на $$2$$, а правая — нет, так как число $$5^q$$ нечётное. Противоречие. Значит, $$\lg 5$$ — иррациональное число.
г) Предположим, что $$\log_2 9=\frac{p}{q},$$ где $$p$$ и $$q$$ — целые числа, $$q\neq 0$$. Тогда
$$2^{\frac{p}{q}}=9,$$
возведём в степень $$q$$:
$$2^p=9^q.$$
Левая часть делится на $$2$$, а правая — нечётное число. Противоречие. Значит, $$\log_2 9$$ — иррациональное число.
Ответ
$$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{3},\ \lg 5,\ \log_2 9$$ — иррациональные числа.
