Упр.2 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Свойства арифметического корня:

1. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$
2. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad b\ne 0$$
3. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}, \quad k>0$$
4. $$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}, \quad k>0$$
5. $$\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k, \quad k\le 0$$

2) Преобразуем выражения:

1. $$8^{\frac14}\cdot 4^{\frac18}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[8]{4}=\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{16}=2.$$
2. $$\frac{125^{\frac16}}{320^{\frac13}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{\sqrt[3]{3\cdot 2^6\cdot 5}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{\sqrt[6]{3^2\cdot 2^4\cdot 5^2}}=\frac{\sqrt[6]{5^3}}{4\sqrt[6]{5^2}}=\frac{\sqrt[6]{5}}{4}.$$
3. $$\left(\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac16}\right)^2=\left(\sqrt[6]{\frac{27}{8}}\right)^2=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac32.$$
4. $$\sqrt{\frac{a^4b^2}{c^8}}=\sqrt{\frac{a^{2\cdot 2}\cdot b^2}{c^{2\cdot 4}}}=\frac{a^2|b|}{c^4}.$$

3) Сравним числа:

1. $$128^{\frac17}=\sqrt[7]{2^7}=2,\qquad 4^{\frac15}=\sqrt[5]{2^2}=(2^2)^{\frac15}<2.$$
   Значит, больше $$128^{\frac17}.$$
2. $$2^{100}=(2^{10})^{10}=1024^{10},\qquad 100^{20}=(100^2)^{10}=10000^{10}.$$
   Так как $$1024<10000,$$ то больше $$100^{20}.$$
3. $$26^{\frac18}=\sqrt[8]{26},\qquad 5^{\frac14}=\sqrt[8]{5^2}=\sqrt[8]{25}.$$
   Так как $$26>25,$$ то больше $$26^{\frac18}.$$
4. $$5^{\frac15}=\sqrt[15]{5^3}=\sqrt[15]{125},\qquad 3^{\frac13}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243}.$$
   Так как $$125<243,$$ то больше $$3^{\frac13}.$$

Ответ: 1) свойства корня; 2) а) $$2$$, б) $$\frac{\sqrt[6]{5}}{4}$$, в) $$\frac32$$, г) $$\frac{a^2|b|}{c^4}$$; 3) а) $$128^{\frac17}$$, б) $$100^{20}$$, в) $$26^{\frac18}$$, г) $$3^{\frac13}$$.