Упр.2 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. Сформулируйте основное свойство первообразной.
- Запишите общий вид первообразных для функции:
а) $$f(x)=kx+b$$ (к $$k$$ и $$b$$ — постоянные);
б) $$f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$$;
в) $$f(x)=x^n$$ (ข $$n$$ — целое число, $$n\ne -1$$);
г) $$f(x)=\cos(x)$$. - Для функции $$f$$ найдите первообразную $$F$$, принимающую заданное значение в данной точке:
а) $$f(x)=\sin(x)-\cos(x)$$, $$F(?)=1$$;
б) $$f(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2}$$, $$F(3)=5$$;
в) $$f(x)=2x-5$$, $$F(1)=-2$$;
г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$$, $$F(6)=10$$.
1) Если $$F'(x)=0$$ на некотором промежутке $$I$$, то функция $$F$$ постоянна на этом промежутке.
Любая первообразная для функции $$f$$ на промежутке $$I$$ может быть записана в виде $$F(x)+C$$, где $$F(x)$$ — одна из первообразных для функции $$f(x)$$ на промежутке $$I$$, а $$C$$ — произвольная постоянная.
2) Общий вид первообразных:
- а) если $$f(x)=kx+b$$, то $$F(x)=\frac{kx^2}{2}+bx+C$$;
- б) если $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$, то $$F(x)=\tg x+C$$;
- в) если $$f(x)=x^n$$, $$n\neq -1$$, то $$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$;
- г) если $$f(x)=\cos x$$, то $$F(x)=\sin x+C$$.
3) Найдём первообразные, удовлетворяющие заданным условиям:
а) $$f(x)=\sin x-\cos x,\quad F(\pi)=1$$
$$F(x)=\int (\sin x-\cos x)\,dx=-\cos x-\sin x+C$$
$$F(\pi)=-\cos \pi-\sin \pi+C=1$$
$$1+0+C=1,\quad C=0$$
$$F(x)=-\cos x-\sin x$$
б) $$f(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2},\quad F(3)=5$$
$$F(x)=\int \left(\frac{x^2}{3}-\frac{3}{x^2}\right)\,dx=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+C$$
$$F(3)=\frac{27}{9}+\frac{3}{3}+C=5$$
$$3+1+C=5,\quad C=1$$
$$F(x)=\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+1$$
в) $$f(x)=2x-5,\quad F(1)=-2$$
$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C$$
$$F(1)=1-5+C=-2$$
$$C=2$$
$$F(x)=x^2-5x+2$$
г) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}},\quad F(6)=10$$
$$F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{x-2}}\,dx=2\sqrt{x-2}+C$$
$$F(6)=2\sqrt{6-2}+C=10$$
$$4+C=10,\quad C=6$$
$$F(x)=2\sqrt{x-2}+6$$
Ответ: 1) $$F'(x)=0 \Rightarrow F(x)$$ постоянна на промежутке; любая первообразная имеет вид $$F(x)+C$$. 2) а) $$\frac{kx^2}{2}+bx+C$$; б) $$\tg x+C$$; в) $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$; г) $$\sin x+C$$. 3) а) $$-\cos x-\sin x$$; б) $$\frac{x^3}{9}+\frac{3}{x}+1$$; в) $$x^2-5x+2$$; г) $$2\sqrt{x-2}+6$$.
