Упр.2 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сформулируйте определение производной функции в точке.
2. Пользуясь определением, найдите производную функции $$f$$ в точке $$x_0$$:
   а) $$f(x)=x^2+1,\ x_0=-2$$;
   б) $$f(x)=\frac{2}{x},\ x_0=3$$;
   в) $$f(x)=2x-1,\ x_0=-4$$;
   г) $$f(x)=x^3,\ x_0=2$$.

Производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$ называется число, к которому стремится разностное отношение при $$\Delta x \to 0$$:

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

1. $$f(x)=x^2+1,\quad x_0=-2.$$

   $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^2+1-(x_0^2+1)}{\Delta x} =\frac{2x_0\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x} =2x_0+\Delta x.$$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x)=2x$$, значит

   $$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4.$$

2. $$f(x)=\frac{2}{x},\quad x_0=3.$$

   $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{\frac{2}{x_0+\Delta x}-\frac{2}{x_0}}{\Delta x} =\frac{2x_0-2(x_0+\Delta x)}{x_0(x_0+\Delta x)\Delta x} =-\frac{2}{x_0(x_0+\Delta x)}.$$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x)=-\frac{2}{x^2}$$, значит

   $$f'(3)=-\frac{2}{3^2}=-\frac{2}{9}.$$

3. $$f(x)=2x-1,\quad x_0=-4.$$

   $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{2(x_0+\Delta x)-1-(2x_0-1)}{\Delta x} =\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2.$$

   Следовательно, $$f'(x)=2$$, и потому

   $$f'(-4)=2.$$

4. $$f(x)=x^3,\quad x_0=2.$$

   $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =\frac{(x_0+\Delta x)^3-x_0^3}{\Delta x} =\frac{3x_0^2\Delta x+3x_0\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x} =3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2.$$

   При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$f'(x)=3x^2$$, значит

   $$f'(2)=3\cdot 2^2=12.$$

Ответ: $$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
а) $$-4$$; б) $$-\frac{2}{9}$$; в) $$2$$; г) $$12$$.