Упр.2 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких целых $$a$$ оба корня уравнения $$x^2+ax^2+6=0$$ являются целыми числами?

Пусть корни уравнения $$x^2+ax+6=0$$ — целые числа. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=6.$$

Нужно найти все целые пары чисел, произведение которых равно $$6$$:

$$(-6,-1),\;(-3,-2),\;(1,6),\;(2,3).$$

Для каждой пары находим $$a=-\,(x_1+x_2):$$

$$\begin{aligned} (-6)+(-1)&=-7 &\Rightarrow&\ a=7,\\ (-3)+(-2)&=-5 &\Rightarrow&\ a=5,\\ 1+6&=7 &\Rightarrow&\ a=-7,\\ 2+3&=5 &\Rightarrow&\ a=-5. \end{aligned}$$

Следовательно, целые значения $$a$$, при которых оба корня уравнения целые, равны $$-7,\,-5,\,5,\,7$$.

Ответ: $$-7;\,-5;\,5;\,7.$$