Упр.199 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ уравнение $$3x\lg(x)=1+a\lg(x)$$ имеет: а) одно решение; б) два решения?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$3x\lg x=1+a\lg x.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$3x\lg x-a\lg x=1$$

$$\lg x\,(3x-a)=1$$

$$\lg x=\frac{1}{3x-a}.$$

Удобнее перейти к равносильному виду:

$$3x\lg x=1+a\lg x$$

$$\lg x^{3x}=1+\lg x^a$$

$$\lg x^{3x}-\lg x^a=1$$

$$\lg \frac{x^{3x}}{x^a}=1$$

$$\lg x^{3x-a}=1$$

$$x^{3x-a}=10.$$

Тогда

$$3x-a=\log_x 10,$$

то есть число решений исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков функций

$$y=3x-a \quad \text{и} \quad y=\log_x 10.$$

Рассмотрим функцию

$$f(x)=3x-\log_x 10-a.$$

При $$x>0,\ x\ne 1$$ она возрастает, так как

$$3x$$ возрастает, а $$\log_x 10=\dfrac{\ln 10}{\ln x}$$ убывает на каждом из промежутков $$0<x<1$$ и $$x>1$$, поэтому сумма даёт по одному пересечению на каждом из этих промежутков.

Проверим поведение на границах:

$$\lim_{x\to 0+}\bigl(3x-\log_x 10-a\bigr)=-a,$$

а при $$x\to 1-$$ и $$x\to 1+$$ выражение неограниченно меняется, поэтому возможны либо одно, либо два решения.

Чтобы было одно решение, прямая должна касаться графика только на одном из промежутков, что происходит при

$$a\le 0.$$

Если же

$$a>0,$$

то на каждом из промежутков $$0<x<1$$ и $$x>1$$ получается по одному решению, значит всего два решения.