Упр.198 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Для $$x\le -1$$ имеем прямую $$y=x-1$$, а для $$x>-1$$ — параболу $$y=1-x^2$$. Значит, график состоит из луча и части параболы.

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим точку склейки $$x=-1$$:

$$f(-1)=-1-1=-2,$$
$$\lim_{x\to -1+0}(1-x^2)=1-(-1)^2=0.$$

Так как $$f(-1)\ne \lim_{x\to -1+0}f(x),$$ функция в точке $$x=-1$$ не является непрерывной.

б) Для $$x\le 1$$ имеем $$y=2-x$$, а для $$x>1$$ — $$y=2x-1$$. График состоит из двух лучей с вершиной в точке $$x=1$$.

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим точку $$x=1$$:

$$f(1)=2-1=1,$$
$$\lim_{x\to 1+0}(2x-1)=2\cdot 1-1=1.$$

Следовательно, в точке $$x=1$$ функция непрерывна.

в) Для $$x<1$$ имеем $$y=x+2$$, а для $$x\ge 1$$ — $$y=\dfrac{1}{x}$$.

Область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Точка $$x=1$$ принадлежит области определения, проверим непрерывность:

$$f(1)=\frac{1}{1}=1,$$
$$\lim_{x\to 1-0}(x+2)=3,$$
$$\lim_{x\to 1+0}\frac{1}{x}=1.$$

Так как левый и правый пределы не равны, при $$x=1$$ функция не является непрерывной.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, функция не непрерывна при $$x=-1$$.
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, функция непрерывна при $$x=1$$.
в) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция не непрерывна при $$x=1$$.