Упр.198 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ уравнение $$2\log^2(3;x)-|\log(3;x)|+a=0$$ имеет четыре решения?

Подробный ответ

Положим $$t=\log_3 x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$2t^2-|t|+a=0.$$

Обозначим $$y=|t|\ge 0.$$ Тогда

$$2y^2-y+a=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело четыре решения по $$x$$, уравнение относительно $$y$$ должно иметь два различных положительных корня: тогда каждому из них соответствуют по два значения $$t=\pm y$$, а значит, по два значения $$x$$.

Рассмотрим квадратное уравнение

$$2y^2-y+a=0.$$

Для существования двух различных корней нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D=1-8a>0,$$

откуда

$$a<\frac18.$$

Кроме того, оба корня должны быть положительными. Для этого достаточно, чтобы их произведение было положительным и сумма положительной. Здесь

$$y_1+y_2=\frac12>0,\qquad y_1y_2=\frac a2.$$

Значит, нужно

$$a>0.$$

При $$a=0$$ один из корней равен нулю, а это даёт не четыре, а три решения по $$x$$.

Итак,