Упр.197 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

1. $$\lg(\operatorname{arctg}(x))+\lg(\operatorname{arcctg}(x))=a$$;
2. $$\log(x+1; x^2-9x+8)\cdot\log(x-1; x+1)=3$$;
3. $$\arcsin(\lg(x^2))+\arcsin(\lg(x))=\frac{?}{3}$$;
4. $$\log(3-4x^2; 9-16x^4)=2+\frac{1}{\log(2; 3-4x^2)}$$.

а) Обозначим $$y=\arctg x$$ и $$z=\arcctg x.$$ Тогда

$$\lg y+\lg z=a \;\Rightarrow\; \lg(yz)=a \;\Rightarrow\; yz=10^a.$$

Кроме того,

$$y+z=\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно, $$y$$ и $$z$$ — корни уравнения

$$t^2-\frac{\pi}{2}t+10^a=0.$$

Тогда

$$D=\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-4\cdot 10^a=\frac{\pi^2}{4}-4\cdot 10^a.$$

Чтобы корни были действительными, нужно

$$\frac{\pi^2}{4}-4\cdot 10^a\ge 0 \;\Rightarrow\; 10^a\le \frac{\pi^2}{16} \;\Rightarrow\; a\le 2\lg\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$y=\frac{\frac{\pi}{2}\pm \sqrt{\frac{\pi^2}{4}-4\cdot 10^a}}{2} =\frac{\pi\pm \sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4}.$$

Значит,

$$x=\tg\frac{\pi\pm \sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4}.$$

При $$a>2\lg\frac{\pi}{4}$$ корней нет.

б) Пусть

$$\log_{x+1}(x^2-9x+8)\cdot \log_{x-1}(x+1)=3.$$

Используем переход к одному основанию:

$$\log_{x-1}(x+1)=\frac{1}{\log_{x+1}(x-1)}.$$

Тогда

$$\frac{\log_{x+1}(x^2-9x+8)}{\log_{x+1}(x-1)}=3,$$

откуда

$$\log_{x-1}(x^2-9x+8)=3.$$

Следовательно,

$$x^2-9x+8=(x-1)^3.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-9x+8=x^3-3x^2+3x-1,$$

$$x^3-4x^2+12x-9=0.$$

Проверим разложение:

$$x^3-4x^2+12x-9=(x-1)(x^2-3x+9).$$

У квадратного трёхчлена

$$D=9-36=-27<0,$$

поэтому единственный действительный корень — $$x=1$$. Но при $$x=1$$ основания логарифмов равны $$2$$ и $$0$$, а это недопустимо. Значит, корней нет.

в) Пусть $$y=\lg x$$. Тогда $$\lg(x^2)=2\lg x=2y,$$ и уравнение принимает вид

$$\arcsin(2y)+\arcsin(y)=\frac{\pi}{3}.$$

Положим $$\arcsin(y)=\alpha$$. Тогда $$y=\sin\alpha$$, а

$$\arcsin(2y)=\frac{\pi}{3}-\alpha.$$

Следовательно,

$$2y=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) =\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha-\frac12\sin\alpha.$$

Так как $$\cos\alpha=\sqrt{1-y^2}$$, получаем

$$2y=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{1-y^2}-\frac12 y.$$

Тогда

$$5y=\sqrt3\sqrt{1-y^2},$$

$$25y^2=3(1-y^2),$$

$$28y^2=3, \qquad y^2=\frac{3}{28}.$$

Так как правая часть уравнения положительна, то $$y>0$$, значит

$$y=\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}.$$

Отсюда

$$\lg x=\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}, \qquad x=10^{\frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}}=10^{\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}}.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}.$$

Так как

$$\frac{1}{\log_2(3-4x^2)}=\log_{3-4x^2}2,$$

то

$$\log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+\log_{3-4x^2}2 =\log_{3-4x^2}\bigl(2(3-4x^2)^2\bigr).$$

Следовательно,

$$9-16x^4=2(3-4x^2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$9-16x^4=2(9-24x^2+16x^4),$$

$$48x^4-48x^2+9=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$48t^2-48t+9=0.$$

$$D=48^2-4\cdot 48\cdot 9=576,$$

$$t=\frac{48\pm 24}{96}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac34.$$

Значит,

$$x^2=\frac14 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac12, \qquad x^2=\frac34 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Проверим область определения:

$$3-4x^2>0,\qquad 3-4x^2\ne 1.$$

При $$x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$ основание логарифма равно нулю, поэтому эти значения не подходят. Остаются

$$x=\pm \frac12.$$

Ответ

а) $$x=\tg\frac{\pi\pm \sqrt{\pi^2-16\cdot 10^a}}{4},\quad a\le 2\lg\frac{\pi}{4};$$ при $$a>2\lg\frac{\pi}{4}$$ корней нет.

б) Корней нет.

в) $$x=10^{\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}}.$$

г) $$x=-\frac12,\ \frac12.$$