Упр.196 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases} \log_4 x-\log_2 y=0,\\ x^2-2y^2=8; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=81,\\ \lg\sqrt{xy}=1+\lg 3; \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} \log_9 x-\log_3 y=0,\\ x^2-5y^2+4=0; \end{cases}$$
4. $$\begin{cases} 2\log_2 x-3^y=15,\\ 3^y\log_2 x=2\log_2 x+3^{y+1}. \end{cases}$$

а) Из первого уравнения:

$$\log_4 x-\log_2 y=0.$$

Так как $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,$$ получаем

$$\frac{1}{2}\log_2 x=\log_2 y \;\Rightarrow\; \log_2 x=2\log_2 y \;\Rightarrow\; x=y^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-2y^2=8,$$

$$y^4-2y^2-8=0.$$

Обозначим $$t=y^2$$. Тогда

$$t^2-2t-8=0,$$

$$\left(t-4\right)\left(t+2\right)=0.$$

Так как $$t=y^2\ge 0,$$ то $$t=4.$$ Следовательно,

$$y^2=4,\quad y=2,$$

$$x=y^2=4.$$

Пара $$(-2;\,2)$$ не подходит, так как $$x=y^2\ge 0.$$

б) Из первого уравнения:

$$3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=81=3^4,$$

значит

$$2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4.$$

Из второго уравнения:

$$\lg\sqrt{xy}=1+\lg 3=\lg 10+\lg 3=\lg 30,$$

откуда

$$\sqrt{xy}=30,\quad xy=900.$$

Положим $$u=\sqrt{x},\ v=\sqrt{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2u-v=4,\\ u^2v^2=900. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$v=2u-4.$$ Подставим во второе:

$$u^2(2u-4)^2=900,$$

$$u(2u-4)=30.$$

Так как $$u=\sqrt{x}\ge 0,$$ получаем

$$2u^2-4u-30=0,$$

$$u^2-2u-15=0,$$

$$\left(u-5\right)\left(u+3\right)=0.$$

Отсюда $$u=5,$$ значит

$$\sqrt{x}=5,\quad x=25,$$

$$v=2\cdot 5-4=6,\quad y=36.$$

в) Из первого уравнения:

$$\log_9 x-\log_3 y=0.$$

Так как $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,$$ то

$$\frac{1}{2}\log_3 x=\log_3 y \;\Rightarrow\; \log_3 x=2\log_3 y \;\Rightarrow\; x=y^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-5y^2+4=0,$$

$$y^4-5y^2+4=0.$$

Обозначим $$t=y^2$$. Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0.$$

Следовательно,

$$y^2=1 \Rightarrow y=1,\ x=1,$$

или

$$y^2=4 \Rightarrow y=2,\ x=4.$$

г) Обозначим $$u=\log_2 x.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} 2u-3^y=15,\\ 3^y u=2u+3^{y+1}. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$u=\frac{15+3^y}{2}.$$

Подставим во второе:

$$3^y\cdot \frac{15+3^y}{2}=2\cdot \frac{15+3^y}{2}+3^{y+1}.$$

Умножим на $$2$$:

$$3^y(15+3^y)=2(15+3^y)+2\cdot 3^{y+1}.$$

Так как $$3^{y+1}=3\cdot 3^y,$$ получаем

$$3^{2y}+15\cdot 3^y=30+2\cdot 3^y+6\cdot 3^y,$$

$$3^{2y}+7\cdot 3^y-30=0.$$

Положим $$t=3^y>0$$. Тогда

$$t^2+7t-30=0,$$

$$\left(t-3\right)\left(t+10\right)=0.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t=3.$$ Значит,

$$3^y=3,\quad y=1.$$

Тогда

$$u=\frac{15+3}{2}=9,$$

$$\log_2 x=9,\quad x=512.$$

Ответ

а) $$\left(4;\,2\right)$$; б) $$\left(25;\,36\right)$$; в) $$\left(1;\,1\right),\ \left(4;\,2\right)$$; г) $$\left(512;\,1\right)$$.