Упр.196 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём мгновенную скорость по определению:

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t}.$$

1. $$x(t)=-t^2+8t,\quad t_0=6.$$

   $$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=-(t_0+\Delta t)^2+8(t_0+\Delta t)-(-t_0^2+8t_0) \\ &=\Delta t(8-2t_0-\Delta t). \end{aligned}$$

   $$\frac{\Delta x}{\Delta t}=8-2t_0-\Delta t,\qquad v=\lim_{\Delta t\to 0}(8-2t_0-\Delta t)=8-2t_0.$$

   При $$t_0=6$$ получаем:

   $$v=8-2\cdot 6=-4.$$

2. $$x(t)=3t^3+2,\quad t_0=2.$$

   $$\begin{aligned} x(t_0+\Delta t)-x(t_0) &=3(t_0+\Delta t)^3+2-(3t_0^3+2) \\ &=9t_0^2\Delta t+9t_0(\Delta t)^2+3(\Delta t)^3. \end{aligned}$$

   $$\frac{\Delta x}{\Delta t}=9t_0^2+9t_0\Delta t+3(\Delta t)^2,\qquad v=\lim_{\Delta t\to 0}\left(9t_0^2+9t_0\Delta t+3(\Delta t)^2\right)=9t_0^2.$$

   При $$t_0=2$$ получаем:

   $$v=9\cdot 2^2=36.$$

3. $$x(t)=\frac{t^2}{4},\quad t_0=4.$$

   $$\begin{aligned} \frac{\Delta x}{\Delta t} &=\frac{\frac{(t_0+\Delta t)^2}{4}-\frac{t_0^2}{4}}{\Delta t} =\frac{(t_0+\Delta t)^2-t_0^2}{4\Delta t} \\ &=\frac{2t_0+\Delta t}{4}. \end{aligned}$$

   $$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2t_0+\Delta t}{4}=\frac{t_0}{2}.$$

   При $$t_0=4$$ получаем:

   $$v=\frac{4}{2}=2.$$

4. $$x(t)=5t-3,\quad t_0=10.$$

   $$\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{5(t_0+\Delta t)-3-(5t_0-3)}{\Delta t} =5.$$

   Следовательно, мгновенная скорость постоянна и равна $$5$$.

Ответ: а) $$-4$$; б) $$36$$; в) $$2$$; г) $$5$$.