Упр.196 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$9x^{\lg(x)}+91x^{-\lg(x)}=60$$; б) $$|x-1|^{\log(2;x)-\log(2;x^2)}=|x-1|^3$$; в) $$x^{2\lg(100/x)-3\lg(x)}=0{,}1$$; г) $$\log(x+1;x^2+x-6)=4$$.

а) Обозначим $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда

$$9y+\frac{91}{y}=60.$$

Умножим на $$y$$:

$$9y^2-60y+91=0.$$

$$D=60^2-4\cdot 9\cdot 91=3600-3276=324.$$

$$y_{1,2}=\frac{60\pm 18}{18}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac{7}{3}, \qquad y_2=\frac{13}{3}.$$

Так как $$y=x^{\lg x},$$ то

$$x^{\lg x}=a \;\Longrightarrow\; \lg x=\pm \sqrt{\lg a}, \qquad x=10^{\pm \sqrt{\lg a}}.$$

Следовательно,

$$x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{7}{3}}}, \qquad x=10^{\pm \sqrt{\lg \frac{13}{3}}}.$$

б) Имеем

$$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2}=|x-1|^3.$$

Перенесём в одну степень:

$$|x-1|^{\log_2 x-\log_2 x^2-3}=1.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$|x-1|=1,$$ тогда $$x-1=1$$ или $$x-1=-1.$$ С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=2.$$

2) $$\log_2 x-\log_2 x^2-3=0.$$ Тогда

$$\log_2 x-2\log_2|x|-3=0.$$

Так как $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$\log_2 x-2\log_2 x-3=0,$$

$$-\log_2 x=3,$$

$$\log_2 x=-3,$$

$$x=\frac18.$$

Проверка: $$x\neq 1,$$ оба значения подходят.

Ответ: $$\frac18,\ 2.$$

в) Запишем правую часть как степень десяти:

$$x^{2\lg \frac{100}{x}-3\lg x}=0{,}1=10^{-1}.$$

Прологарифмируем по основанию $$10$$:

$$\lg x\left(2\lg \frac{100}{x}-3\lg x\right)=-1.$$

Так как

$$\lg \frac{100}{x}=2-\lg x,$$

то

$$\lg x\bigl(2(2-\lg x)-3\lg x\bigr)=-1,$$

$$\lg x(4-5\lg x)=-1.$$

Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда

$$y(4-5y)=-1,$$

$$5y^2-4y-1=0.$$

$$D=16+20=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}.$$

Получаем

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac15.$$

Значит,

$$x=10,\qquad x=10^{-1/5}=\frac{1}{\sqrt[5]{10}}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt[5]{10}},\ 10.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\log_{x+1}(x^2+x-6)=4.$$

Область определения:

$$x+1>0,\quad x+1\neq 1,\quad x^2+x-6>0.$$

Отсюда

$$x>-1,\quad x\neq 0,\quad (x+3)(x-2)>0.$$

Следовательно, $$x<-3$$ или $$x>2,$$ а с учётом $$x>-1$$ остаётся только $$x>2.$$

По определению логарифма

$$x^2+x-6=(x+1)^4.$$

Тогда

$$x^2+x-6=x^4+4x^3+6x^2+4x+1,$$

$$x^4+4x^3+5x^2+3x+7=0.$$

При $$x>2$$ левая часть положительна, значит решений нет.

Ответ: корней нет.