Упр.195 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases} y-\log_3 x=1,\\ x^y=3^{12}; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 3^{1+\log_3(x^2+y^2)}=15,\\ \log_3(x^2-y^2)-\log_3(x-y)=0; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} \log_5 x+3^{\log_3 y}=7,\\ x^y=5^{12}; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} 5^{1+\log_5(x^2-y^2)}=25,\\ \log_5(x^2-y^2)=\log_5(x+y). \end{cases}$$
Рассмотрим каждую систему по отдельности.
а)
$$\begin{cases} y-\log_3 x=1,\\ x^y=3^{12} \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=\log_3 x+1.$$
Подставим во второе:
$$x^{\log_3 x+1}=3^{12}.$$
Пусть $$z=\log_3 x$$, тогда $$x=3^z$$. Получаем:
$$(3^z)^{z+1}=3^{12}, \qquad z(z+1)=12.$$
$$z^2+z-12=0,$$
$$(z+4)(z-3)=0.$$
Отсюда $$z_1=-4$$, $$z_2=3$$.
Тогда:
$$x_1=3^{-4}=\frac{1}{81}, \quad y_1=-4+1=-3;$$
$$x_2=3^3=27, \quad y_2=3+1=4.$$
Ответ: $$\left(\frac{1}{81};-3\right),\ (27;4).$$
б)
$$\begin{cases} 3^{1+\log_3(x^2+y^2)}=15,\\ \log_3(x^2-y^2)-\log_3(x-y)=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\log_3(x^2-y^2)=\log_3(x-y).$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$, то
$$\log_3\bigl((x-y)(x+y)\bigr)=\log_3(x-y).$$
При $$x-y>0$$ получаем:
$$(x-y)(x+y)=x-y,$$
$$x+y=1.$$
Значит, $$y=1-x$$.
Из первого уравнения:
$$3\cdot 3^{\log_3(x^2+y^2)}=15,$$
$$3(x^2+y^2)=15,$$
$$x^2+y^2=5.$$
Подставим $$y=1-x$$:
$$x^2+(1-x)^2=5,$$
$$2x^2-2x-4=0,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$(x-2)(x+1)=0.$$
Тогда $$x=2$$ или $$x=-1$$.
Соответственно, $$y=-1$$ или $$y=2$$.
Ответ: $$(2;-1),\ (-1;2).$$
в)
$$\begin{cases} \log_5 x+3^{\log_3 y}=7,\\ x^y=5^{12} \end{cases}$$
Так как $$3^{\log_3 y}=y$$, первое уравнение принимает вид:
$$\log_5 x+y=7,$$
$$y=7-\log_5 x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^{\,7-\log_5 x}=5^{12}.$$
Пусть $$z=\log_5 x$$, тогда $$x=5^z$$. Получаем:
$$(5^z)^{7-z}=5^{12},$$
$$z(7-z)=12,$$
$$z^2-7z+12=0,$$
$$(z-3)(z-4)=0.$$
Отсюда $$z_1=3$$, $$z_2=4$$.
Тогда:
$$x_1=5^3=125,\quad y_1=7-3=4;$$
$$x_2=5^4=625,\quad y_2=7-4=3.$$
Ответ: $$(125;4),\ (625;3).$$
г)
$$\begin{cases} 5^{1+\log_5(x^2-y^2)}=25,\\ \log_5(x^2-y^2)=\log_5(x+y) \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x^2-y^2=x+y.$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$, то
$$(x-y)(x+y)=x+y.$$
При $$x+y>0$$ получаем:
$$x-y=1,$$
$$y=x-1.$$
Из первого уравнения:
$$5\cdot 5^{\log_5(x^2-y^2)}=25,$$
$$5(x^2-y^2)=25,$$
$$x^2-y^2=5.$$
Подставим $$y=x-1$$:
$$x^2-(x-1)^2=5,$$
$$x^2-(x^2-2x+1)=5,$$
$$2x-1=5,$$
$$x=3,\quad y=2.$$
Ответ: $$(3;2).$$
