Упр.195 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{1+\log_{2}x}+\sqrt{4\log_{4}x-2}=4$$;
   б) $$\log_{6}\left(2^{x+3}\right)-\log_{6}\left|3^x-3\right|=x$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(3+\left|\sin x\right|\right)=2^{|x|}-2$$;
   г) $$\sqrt[3]{1+\lg(\tg x)}+\sqrt[3]{1-\lg(\tg x)}=2$$.

1. а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$\sqrt{1+y}+\sqrt{2y-2}=4.$$

   Возведём в квадрат:

   $$1+y+2\sqrt{(1+y)(2y-2)}+2y-2=16,$$

   $$2\sqrt{2(y+1)(y-1)}=17-3y.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$8(y+1)(y-1)=(17-3y)^2,$$

   $$8y^2-8=289-102y+9y^2,$$

   $$y^2-102y+297=0.$$

   $$D=102^2-4\cdot 297=9216,$$

   $$y_1=\frac{102-96}{2}=3,\qquad y_2=\frac{102+96}{2}=99.$$

   С учётом области допустимых значений $$y\ge 1$$ и $$17-3y\ge 0$$ получаем $$y=3.$$ Тогда

   $$\log_2 x=3,\qquad x=2^3=8.$$

2. б) Используем свойство логарифмов:

   $$\log_6 2^{x+3}-\log_6|3^x-3|=x,$$

   $$\log_6\frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=x,$$

   $$\frac{2^{x+3}}{|3^x-3|}=6^x.$$

   Так как $$2^{x+3}=8\cdot 2^x$$ и $$6^x=2^x3^x,$$ то

   $$\frac{8}{|3^x-3|}=3^x,$$

   $$8=3^x|3^x-3|.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x>1,$$ то $$|3^x-3|=3^x-3,$$ и

   $$3^x(3^x-3)=8.$$

   Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда

   $$t^2-3t-8=0,$$

   $$D=9+32=41,$$

   $$t=\frac{3+\sqrt{41}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}.$$

   Если $$x<1,$$ то $$|3^x-3|=3-3^x,$$ и

   $$3^x(3-3^x)=8.$$

   Пусть $$t=3^x.$$ Тогда

   $$t^2-3t+8=0,$$

   $$D=9-32=-23<0,$$

   действительных решений нет.

3. в) Так как $$|\sin x|\ge 0,$$ то

   $$3+|\sin x|\ge 3,$$

   а значит

   $$\log_{1/3}(3+|\sin x|)\le \log_{1/3}3=-1.$$

   Правая часть уравнения равна

   $$2^{|x|}-2\ge -1.$$

   Следовательно, обе части могут быть равны только при минимальных значениях:

   $$\log_{1/3}(3+|\sin x|)=-1,\qquad 2^{|x|}-2=-1.$$

   Из второго равенства получаем

   $$2^{|x|}=1,\qquad |x|=0,\qquad x=0.$$

   Проверка:

   $$\log_{1/3}(3+|\sin 0|)=\log_{1/3}3=-1,$$

   $$2^{|0|}-2=1-2=-1.$$

4. г) Пусть $$y=\lg(\tg x).$$ Тогда

   $$\sqrt[3]{1+y}+\sqrt[3]{1-y}=2.$$

   Обозначим

   $$a=\sqrt[3]{1+y},\qquad b=\sqrt[3]{1-y}.$$

   Тогда $$a+b=2,$$ а также

   $$a^3+b^3=2.$$

   Используем формулу

   $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).$$

   Получаем

   $$2=8-6ab,$$

   $$ab=1.$$

   Значит,

   $$\sqrt[3]{(1+y)(1-y)}=1,$$

   $$\sqrt[3]{1-y^2}=1,$$

   $$1-y^2=1,$$

   $$y=0.$$

   Тогда

   $$\lg(\tg x)=0,\qquad \tg x=1,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$\log_3\frac{3+\sqrt{41}}{2}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$