Упр.194 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}\lg(x)-\lg(y)=1,\\ \lg^2(x)+\lg^2(y)=5;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\log_{2}(x^2+y^2)=5,\\ 2\log_{4}(x)+\log_{2}(y)=4;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\lg(x)-\lg(y)=7,\\ \lg(x)+\lg(y)=5;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\log_{2}(x+1)=\log_{2}\left(y+\frac{1}{4}\right),\\ \log_{2}(x)-2\log_{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)=0.\end{cases}$$
а) Обозначим $$z=\lg x.$$ Тогда из первого уравнения получаем $$\lg y=\lg x-1=z-1.$$ Подставим во второе:
$$z^2+(z-1)^2=5$$
$$2z^2-2z-4=0$$
$$z^2-z-2=0$$
$$\left(z-2\right)\left(z+1\right)=0$$
Отсюда $$z=2$$ или $$z=-1.$$ Тогда
$$x=10^2=100,\quad y=10^{2-1}=10$$
или
$$x=10^{-1}=0{,}1,\quad y=10^{-1-1}=0{,}01.$$
Ответ: $$(0{,}1;\,0{,}01),\ (100;\,10).$$
б) Из второго уравнения:
$$2\log_4 x+\log_2 y=4.$$
Так как $$\log_4 x=\frac{1}{2}\log_2 x,$$ то
$$\log_2 x+\log_2 y=4,$$
$$\log_2(xy)=\log_2 16,$$
$$xy=16,\quad y=\frac{16}{x}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\log_2(x^2+y^2)=5,$$
$$x^2+\frac{256}{x^2}=32.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-32x^2+256=0,$$
$$\left(x^2-16\right)^2=0,$$
$$x^2=16,\quad x=\pm 4.$$
Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ получаем $$x=4,$$ тогда $$y=4.$$
Ответ: $$(4;\,4).$$
в) Сложим уравнения:
$$\left(\lg x-\lg y\right)+\left(\lg x+\lg y\right)=7+5,$$
$$2\lg x=12,$$
$$\lg x=6,$$
$$x=10^6.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$\left(\lg x+\lg y\right)-\left(\lg x-\lg y\right)=5-7,$$
$$2\lg y=-2,$$
$$\lg y=-1,$$
$$y=10^{-1}=0{,}1.$$
Ответ: $$(10^6;\,0{,}1).$$
г) Из первого уравнения:
$$\log_2(x+1)=\log_2\left(y+\frac14\right),$$
значит
$$x+1=y+\frac14,\quad y=x+\frac34.$$
Из второго уравнения:
$$\log_2 x-2\log_2\left(y-\frac12\right)=0,$$
$$\log_2 x=\log_2\left(y-\frac12\right)^2,$$
$$x=\left(y-\frac12\right)^2.$$
Подставим $$y=x+\frac34$$:
$$x=\left(x+\frac34-\frac12\right)^2=\left(x+\frac14\right)^2.$$
$$x=x^2+\frac12x+\frac1{16},$$
$$x^2-\frac12x+\frac1{16}=0,$$
$$16x^2-8x+1=0,$$
$$\left(4x-1\right)^2=0,$$
$$x=\frac14,\quad y=\frac14+\frac34=1.$$
Ответ: $$(0{,}25;\,1).$$
