Упр.194 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}3^{2x}+4^{2y}=82,\\3^x-4^y=8;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}(2^{x+1}-3)\cdot2^{y-1}=1,\\\sqrt{3x+y^2}=x+y;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}2^{\cos x}+2^{\frac{1}{\cos y}}=5,\\2^{\cos x+\frac{1}{\cos y}}=4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}9^{2\tg x+\cos y}=3,\\9^{\cos y}-81^{\tg x}=2.\end{cases}$$
Решим систему
$$\begin{cases} 3^{2x}+4^{2y}=82,\\ 3^x-4^y=8. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$3^x=4^y+8.$$
Подставим в первое:
$$(4^y+8)^2+4^{2y}=82.$$
Раскроем скобки:
$$4^{2y}+16\cdot 4^y+64+4^{2y}=82,$$
$$2\cdot 4^{2y}+16\cdot 4^y-18=0,$$
$$4^{2y}+8\cdot 4^y-9=0.$$
Положим $$t=4^y$$, тогда
$$t^2+8t-9=0.$$
$$D=8^2+4\cdot 9=100,$$
$$t_1=\frac{-8-10}{2}=-9,\qquad t_2=\frac{-8+10}{2}=1.$$
Так как $$4^y>0$$, подходит только $$t=1$$. Тогда
$$4^y=1,\quad y=0.$$
Из второго уравнения:
$$3^x=4^0+8=9,\quad x=2.$$
Получаем пару $$\left(2;0\right)$$.
Решим систему
$$\begin{cases} (2^{x+1}-3)\cdot 2^{y-1}=1,\\ \sqrt{3x+y^2}=x+y. \end{cases}$$
Из второго уравнения возведём обе части в квадрат:
$$3x+y^2=x^2+2xy+y^2,$$
$$x^2+2xy-3x=0,$$
$$x(x+2y-3)=0.$$
Значит, либо $$x=0$$, либо $$x=3-2y$$.
1) Если $$x=0$$, то из первого уравнения:
$$(2^{1}-3)\cdot 2^{y-1}=1,$$
$$-2^{y-1}=1,$$
что невозможно.
2) Если $$x=3-2y$$, то
$$2^{x+1}=2^{4-2y},$$
и первое уравнение принимает вид
$$(2^{4-2y}-3)\cdot 2^{y-1}=1.$$
Преобразуем:
$$2^{3-y}-3\cdot 2^{y-1}=1.$$
Умножим на $$2^y$$:
$$8-\frac{3}{2}\cdot 2^{2y}=2^y.$$
Положим $$t=2^y$$. Тогда
$$3t^2+2t-16=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 16=196,$$
$$t_1=\frac{-2-14}{6}=-\frac{8}{3},\qquad t_2=\frac{-2+14}{6}=2.$$
Так как $$2^y>0$$, берём $$t=2$$. Тогда
$$2^y=2,\quad y=1,$$
$$x=3-2\cdot 1=1.$$
Получаем пару $$\left(1;1\right)$$.
Решим систему
$$\begin{cases} 2^{\cos x}+2^{\frac{1}{\cos y}}=5,\\ 2^{\cos x+\frac{1}{\cos y}}=4. \end{cases}$$
Обозначим
$$a=2^{\cos x},\qquad b=2^{\frac{1}{\cos y}}.$$
Тогда
$$a+b=5,\qquad ab=4.$$
Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-5t+4=0,$$
откуда
$$t_1=1,\qquad t_2=4.$$
Значит, возможны два случая:
$$2^{\cos x}=1,\quad 2^{\frac{1}{\cos y}}=4$$
или
$$2^{\cos x}=4,\quad 2^{\frac{1}{\cos y}}=1.$$
Во втором случае $$2^{\cos x}=4$$, то есть $$\cos x=2$$, что невозможно. Остаётся первый случай:
$$2^{\cos x}=1 \Rightarrow \cos x=0,$$
$$2^{\frac{1}{\cos y}}=4 \Rightarrow \frac{1}{\cos y}=2 \Rightarrow \cos y=\frac12.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad k,n\in\mathbb Z.$$
Решим систему
$$\begin{cases} 9^{2\tg x+\cos y}=3,\\ 9^{\cos y}-81^{\tg x}=2. \end{cases}$$
Положим
$$a=9^{\tg x},\qquad b=9^{\cos y}.$$
Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a^2b=3,\\ b-a^2=2. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$b=a^2+2$$. Подставим в первое:
$$a^2(a^2+2)=3,$$
$$a^4+2a^2-3=0.$$
Обозначим $$u=a^2$$. Тогда
$$u^2+2u-3=0,$$
$$(u-1)(u+3)=0.$$
Так как $$u=a^2\ge 0$$, получаем $$u=1$$. Значит,
$$a^2=1,\quad a=1,$$
то есть
$$9^{\tg x}=1 \Rightarrow \tg x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$
Тогда
$$b=a^2+2=3,$$
$$9^{\cos y}=3 \Rightarrow \cos y=\frac12.$$
Следовательно,
$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(2;0\right)$$;
б) $$\left(1;1\right)$$;
в) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n\right),\ k,n\in\mathbb Z$$;
г) $$\left(\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z$$.
