Упр.193 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}3^x\cdot 7^y=63,\\3^x+7^y=16;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3^x-2^{2y}=77,\\\sqrt{3^x}-2^y=7;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}4^x\cdot 4^y=64,\\4^x-4^y=63;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt{2^x}-3^y=-7,\\2^x-3^y=-5.\end{cases}$$
Решение
$$\begin{cases}3^x\cdot 7^y=63,\\ 3^x+7^y=16.\end{cases}$$
Из второго уравнения получаем $$3^x=16-7^y.$$ Подставим в первое:
$$7^y(16-7^y)=63.$$
Обозначим $$t=7^y$$. Тогда
$$t(16-t)=63,$$
$$t^2-16t+63=0,$$
$$D=16^2-4\cdot 63=4.$$
$$t_{1,2}=\frac{16\pm 2}{2}.$$
Отсюда $$t_1=7,\; t_2=9.$$
Если $$7^y=7,$$ то $$y=1,$$ и тогда $$3^x=16-7=9,$$ значит $$x=2.$$
Если $$7^y=9,$$ то $$y=\log_7 9,$$ и тогда $$3^x=16-9=7,$$ значит $$x=\log_3 7.$$
$$\begin{cases}3^x-2^{2y}=77,\\ \sqrt{3^x}-2^y=7.\end{cases}$$
Положим $$a=\sqrt{3^x},\; b=2^y.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases}a^2-b^2=77,\\ a-b=7.\end{cases}$$
Разложим разность квадратов:
$$(a-b)(a+b)=77.$$
Так как $$a-b=7,$$ то
$$7(a+b)=77,\quad a+b=11.$$
Решаем систему
$$\begin{cases}a-b=7,\\ a+b=11.\end{cases}$$
Складывая уравнения, получаем $$2a=18,$$ значит $$a=9.$$ Тогда $$b=2.$$
Следовательно, $$\sqrt{3^x}=9,$$ откуда $$3^x=81,$$ значит $$x=4,$$ а $$2^y=2,$$ значит $$y=1.$$
$$\begin{cases}4^x\cdot 4^y=64,\\ 4^x-4^y=63.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$4^x=63+4^y.$$
Подставим в первое:
$$4^y(63+4^y)=64.$$
Обозначим $$t=4^y.$$ Тогда
$$t^2+63t-64=0.$$
$$D=63^2+4\cdot 64=4225,$$
$$t_{1,2}=\frac{-63\pm 65}{2}.$$
Получаем $$t_1=1,\; t_2=-64.$$ Но $$4^y>0,$$ значит подходит только $$t=1.$$
Тогда $$4^y=1,$$ откуда $$y=0,$$ и $$4^x=64,$$ значит $$x=3.$$
$$\begin{cases}\sqrt{2^x}-3^y=-7,\\ 2^x-3^y=-5.\end{cases}$$
Обозначим $$a=\sqrt{2^x},\; b=3^y.$$ Тогда
$$\begin{cases}a-b=-7,\\ a^2-b=-5.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$b=a+7.$$ Подставим во второе:
$$a^2-(a+7)=-5,$$
$$a^2-a-2=0,$$
$$D=1+8=9.$$
$$a_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$
Получаем $$a_1=2,\; a_2=-1.$$ Так как $$a=\sqrt{2^x}\ge 0,$$ берём $$a=2.$$
Тогда $$b=a+7=9.$$ Следовательно,
$$\sqrt{2^x}=2 \Rightarrow 2^x=4 \Rightarrow x=2,$$
$$3^y=9 \Rightarrow y=2.$$
Ответ
а) $$\left(2;1\right),\ \left(\log_3 7;\log_7 9\right);$$ б) $$\left(4;1\right);$$ в) $$\left(3;0\right);$$ г) $$\left(2;2\right).$$
