Упр.193 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите все значения $$a$$, для которых неравенство $$4^x-a\cdot 2^x-a+3?0$$ имеет хотя бы одно решение.

Положим $$y=2^x,$$ тогда $$y>0$$ и неравенство принимает вид

$$y^2-a y-(a-3)\le 0.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен как функцию от $$y$$:

$$f(y)=y^2-a y-(a-3).$$

Чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, достаточно, чтобы при некотором $$y>0$$ выполнялось $$f(y)\le 0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=a^2+4(a-3)=a^2+4a-12=(a+6)(a-2).$$

Если $$D<0,$$ то квадратный трёхчлен всегда положителен и решений нет. Значит, необходимо

$$D\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad (a+6)(a-2)\ge 0,$$

откуда

$$a\le -6 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

Проверим эти случаи.

1) Если $$a\le -6,$$ то

$$f(0)=-(a-3)>0,$$

а ветви параболы направлены вверх. При таком $$a$$ оба корня не положительны, поэтому для $$y>0$$ неравенство решений не даёт.

2) Если $$a\ge 2,$$ то

$$f(1)=1-a-(a-3)=4-2a\le 0.$$

Так как $$y=1$$ соответствует $$x=0,$$ то при любом $$a\ge 2$$ исходное неравенство имеет решение.

Следовательно, все значения параметра:

$$a\in[2;+\infty).$$

Ответ: $$[2;+\infty).$$