Упр.192 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}4^{\log_4(2x)}-y=-1,\\5^{2x-y}+5^x=5{,}2;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2^x+3^y=17,\\2^{x+2}-3^{y+1}=5;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}3^{\log_3(y+x)}=2,\\2^{2x+y}=16;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4,\\3^x+2\cdot3^{y-2}=171.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения:
$$4^{\log_4(2x)}-y=-1$$
$$2x-y=-1,$$
так как $$4^{\log_4(2x)}=2x$$ при $$2x>0.$$ Тогда
$$y=2x+1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5^{2x-y}+5^x=5{,}2$$
$$5^{2x-(2x+1)}+5^x=5{,}2$$
$$\frac{1}{5}+5^x=5{,}2$$
$$5^x=5,$$
откуда $$x=1.$$ Тогда
$$y=2\cdot 1+1=3.$$
Ответ: $$(1; 3).$$
б)
Из первого уравнения:
$$2^x+3^y=17,$$
значит
$$3^y=17-2^x.$$
Во втором уравнении:
$$2^{x+2}-3^{y+1}=5$$
$$4\cdot 2^x-3\cdot 3^y=5.$$
Подставим $$3^y=17-2^x$$:
$$4\cdot 2^x-3(17-2^x)=5$$
$$4\cdot 2^x-51+3\cdot 2^x=5$$
$$7\cdot 2^x=56$$
$$2^x=8,$$
откуда $$x=3.$$ Тогда
$$3^y=17-8=9,$$
значит $$y=2.$$
Ответ: $$(3; 2).$$
в)
Из первого уравнения:
$$3^{\log_3(x+y)}=2,$$
следовательно
$$x+y=2.$$
Из второго уравнения:
$$2^{2x+y}=16=2^4,$$
значит
$$2x+y=4.$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x+y=2,\\ 2x+y=4. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x=2.$$
Тогда
$$y=2-2=0.$$
Ответ: $$(2; 0).$$
г)
Из первого уравнения:
$$\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4,$$
значит
$$y-x=(\sqrt{2})^4=4,$$
то есть
$$y=x+4.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^x+2\cdot 3^{y-2}=171$$
$$3^x+2\cdot 3^{x+4-2}=171$$
$$3^x+2\cdot 3^{x+2}=171$$
$$3^x+2\cdot 9\cdot 3^x=171$$
$$19\cdot 3^x=171$$
$$3^x=9,$$
откуда $$x=2.$$ Тогда
$$y=2+4=6.$$
Ответ: $$(2; 6).$$
