Упр.192 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$(x-2)^{x^2-6x+8}>1$$;
   б) $$9^{\sqrt{x^2-3}}+3<3^{\sqrt{x^2-3}}\cdot\frac{28}{3}$$.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$x-2>1,$$ то основание больше 1, и для выполнения неравенства нужно, чтобы показатель был положительным:

$$x^2-6x+8>0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Тогда

$$x<2 \text{ или } x>4.$$

С учётом условия $$x>3$$ получаем $$x>4.$$

2) Если $$0<x-2<1,$$ то основание от 0 до 1, и для выполнения неравенства нужно, чтобы показатель был отрицательным:

$$x^2-6x+8<0.$$

Тогда

$$2<x<4.$$

С учётом условия $$2<x<3$$ получаем $$2<x<3.$$

Итак,

$$x\in(2;3)\cup(4;+\infty).$$

б) Перепишем неравенство:

$$9^{\sqrt{x^2-3}}+3<3^{\sqrt{x^2-3}}\cdot \frac{28}{3}.$$

Так как $$9^{\sqrt{x^2-3}}=3^{2\sqrt{x^2-3}},$$ положим

$$y=3^{\sqrt{x^2-3}}.$$

Тогда получаем:

$$y^2+3<\frac{28}{3}y,$$

$$3y^2-28y+9<0.$$

Найдём корни:

$$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676,$$

$$y_1=\frac{28-26}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{28+26}{6}=9.$$

Следовательно,

$$\left(y-\frac13\right)(y-9)<0,\qquad \frac13<y<9.$$

Так как $$y=3^{\sqrt{x^2-3}},$$ то:

$$3^{\sqrt{x^2-3}}>\frac13 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2-3}>-1,$$

что выполняется при области определения:

$$x^2-3\ge 0,\qquad |x|\ge \sqrt3.$$

И

$$3^{\sqrt{x^2-3}}<9 \;\Rightarrow\; \sqrt{x^2-3}<2,$$

откуда

$$x^2-3<4,\qquad x^2<7,\qquad |x|<\sqrt7.$$

Совмещая условия, получаем:

$$\sqrt3\le |x|<\sqrt7.$$

Значит,

$$x\in(-\sqrt7;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\sqrt7).$$

Ответ

а) $$x\in(2;3)\cup(4;+\infty);$$ б) $$x\in(-\sqrt7;-\sqrt3]\cup[\sqrt3;\sqrt7).$$