Упр.191 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}9^{x+y}=729,\\36(x-y-1)=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}2^x-2^y=16,\\x+y=9;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}(\sqrt{5})^{x-y}=25,\\2^{6y-x-1}=1;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}3^x+3^y=28,\\x-y=3.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения:
$$9^{x+y}=729=9^3,$$
значит, $$x+y=3.$$
Из второго уравнения:
$$3^{x-y-1}=1=3^0,$$
следовательно, $$x-y-1=0,$$ то есть $$x-y=1.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=4,\quad x=2.$$
Тогда $$y=3-2=1.$$
Ответ: $$(2;\,1).$$
б) Из второго уравнения:
$$x+y=9,\quad y=9-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2^x-2^{9-x}=16.$$
Умножим на $$2^x$$:
$$2^{2x}-2^9=16\cdot 2^x,$$
$$2^{2x}-16\cdot 2^x-512=0.$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда
$$t^2-16t-512=0.$$
$$D=16^2+4\cdot 512=2304,\quad \sqrt D=48.$$
$$t=\frac{16\pm 48}{2}.$$
Получаем $$t_1=32,\; t_2=-16.$$
Так как $$t=2^x>0,$$ то подходит только $$t=32,$$ значит
$$2^x=32=2^5,\quad x=5.$$
Тогда $$y=9-5=4.$$
Ответ: $$(5;\,4).$$
в) Из первого уравнения:
$$\left(\sqrt5\right)^{x-y}=25=5^2.$$
Так как $$\sqrt5=5^{1/2},$$ то
$$5^{\frac{x-y}{2}}=5^2,$$
следовательно, $$x-y=4.$$
Из второго уравнения:
$$2^{6y-x-1}=1=2^0,$$
значит, $$6y-x-1=0,$$ то есть $$6y-x=1.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases} x-y=4,\\ 6y-x=1. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=y+4.$$ Подставим во второе:
$$6y-(y+4)=1,$$
$$5y=5,\quad y=1.$$
Тогда $$x=1+4=5.$$
Ответ: $$(5;\,1).$$
г) Из второго уравнения:
$$x-y=3,\quad y=x-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3^x+3^{x-3}=28.$$
Вынесем $$3^{x-3}$$ за скобки:
$$3^{x-3}(3^3+1)=28,$$
$$3^{x-3}\cdot 28=28.$$
Отсюда
$$3^{x-3}=1,\quad x-3=0,\quad x=3.$$
Тогда $$y=3-3=0.$$
Ответ: $$(3;\,0).$$
