Упр.190 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases}\operatorname{tg}(x)+\operatorname{tg}(y)=2,\\ \cos(x)\cos(y)=\frac{1}{2};\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x+y=\frac{5?}{2},\\ \sin(x)+\cos(2y)=-1;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}\sin(x)\sin(y)=\frac{1}{4},\\ \operatorname{ctg}(x)\operatorname{ctg}(y)=3;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}\cos(2y)+\cos(x)=1,\\ x+y=\frac{?}{2}.\end{cases}$$

а)

$$\tan x+\tan y=2,\qquad \cos x\cos y=\frac12$$
$$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}=2$$
$$\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x\cos y}=2$$
$$\sin(x+y)=1$$
Отсюда
$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{2}-x+2\pi k.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\cos x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x+2\pi k\right)=\frac12$$
$$\cos x\sin x=\frac12$$
$$\sin 2x=1.$$
Следовательно,
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{4}+\pi n+2\pi k.$$

Ответ: $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n+2\pi k\right).$$

б)

$$x+y=\frac{5\pi}{2},\qquad \sin x+\cos 2y=-1$$
Из первого уравнения:
$$y=\frac{5\pi}{2}-x.$$
Подставим во второе:
$$\sin x+\cos\left(5\pi-2x\right)=-1$$
$$\sin x-\cos 2x=-1$$
$$\sin x-(1-2\sin^2 x)=-1$$
$$2\sin^2 x+\sin x=0$$
$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
1) Если $$\sin x=0,$$ то
$$x=\pi n,\qquad y=\frac{5\pi}{2}-\pi n.$$
2) Если $$\sin x=-\frac12,$$ то
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
и тогда
$$y=\frac{5\pi}{2}-(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}-\pi n.$$

Ответ: $$\left(\pi n;\,\frac{5\pi}{2}-\pi n\right),\ \left((-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{2}-(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}-\pi n\right).$$

в)

$$\sin x\sin y=\frac14,\qquad \ctg x\ctg y=3$$
Из второго уравнения:
$$\frac{\cos x\cos y}{\sin x\sin y}=3$$
$$\cos x\cos y=3\cdot \frac14=\frac34.$$
Тогда
$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1$$
$$\cos(x-y)=1.$$
Значит,
$$x-y=2\pi k,\qquad y=x-2\pi k.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sin x\sin(x-2\pi k)=\frac14$$
$$\sin^2 x=\frac14.$$
Тогда
$$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac14$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Следовательно,
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
Так как $$y=x-2\pi k,$$ получаем
$$y=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n-2\pi k.$$

Ответ: $$\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n+\pi k;\,-\frac{\pi}{6}+\pi n-\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{6}+\pi n+\pi k;\,\frac{\pi}{6}+\pi n-\pi k\right).$$

г)

$$\cos 2y+\cos x=1,\qquad x+y=\frac{\pi}{2}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
Подставим в первое:
$$\cos(\pi-2x)+\cos x=1$$
$$-\cos 2x+\cos x=1$$
$$1-2\cos^2 x+\cos x=1$$
$$\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\cos x(1-2\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$
1) Если $$\cos x=0,$$ то
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad y=-\pi n.$$
2) Если $$\cos x=\frac12,$$ то
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Тогда
$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$
Получаем:
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\frac{5\pi}{6}-2\pi n;$$
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{6}-2\pi n.$$

Ответ: $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-\pi n\right),\ \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}-2\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}-2\pi n\right).$$