Упр.190 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$a(2^x+2^{-x})=5$$ имеет единственное решение?

Рассмотрим уравнение

$$a\left(2^x+2^{-x}\right)=5.$$

Так как $$2^x>0$$ и $$2^{-x}>0$$ при любом $$x$$, то

$$2^x+2^{-x}\ge 2,$$

причём равенство достигается при $$x=0$$.

Обозначим

$$t=2^x+2^{-x}.$$

Тогда $$t\in[2,+\infty)$$, и уравнение принимает вид

$$at=5,$$

то есть

$$t=\frac{5}{a}.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, значение $$t$$ должно совпасть с наименьшим возможным значением функции $$2^x+2^{-x}$$, то есть

$$\frac{5}{a}=2.$$

Отсюда

$$a=\frac{5}{2}.$$

При этом получается единственное решение $$x=0$$.

Ответ: $$\frac{5}{2}$$.