Упр.19 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Сравните числа:

а) $$15^{\log_3 10}$$ и $$10^{\log_3 15$$};

б) $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ и $$\sqrt{30}-\sqrt{3}$$;

в) $$\sin 2{,}1$$ и $$\sin 7{,}98$$;

г) $$\sqrt{8}+\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{3}+\sqrt{10}$$.

Подробный ответ

а) Обозначим

$$a=15^{\log_3 10}, \qquad b=10^{\log_3 15}.$$

Тогда

$$\log_3 a=\log_3\left(15^{\log_3 10}\right)=\log_3 10\cdot \log_3 15,$$

$$\log_3 b=\log_3\left(10^{\log_3 15}\right)=\log_3 15\cdot \log_3 10.$$

Следовательно, $$\log_3 a=\log_3 b,$$ значит, $$a=b.$$

б) Сравним квадраты:

$$\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2=2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6,$$

$$\left(\sqrt{30}-\sqrt3\right)^2=30+3-2\sqrt{90}=33-2\sqrt{90}.$$

Проверим неравенство

$$5+2\sqrt6<33-2\sqrt{90}.$$

Переносим:

$$2\sqrt6+2\sqrt{90}<28,$$

$$\sqrt6+\sqrt{90}<14.$$

Возводим в квадрат:

$$6+90+2\sqrt{540}<196,$$

$$2\sqrt{540}<100,$$

$$\sqrt{540}<50,$$

$$540<2500,$$

что верно. Значит,

$$\sqrt2+\sqrt3<\sqrt{30}-\sqrt3.$$

в) Функция $$y=\sin x$$ возрастает на промежутке $$\left[\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].$$

Имеем

$$\frac{\pi}{2}<2{,}1<\pi,$$

$$2\pi<7{,}98<3\pi,$$

поэтому

$$\sin 2{,}1>0,$$

$$7{,}98-2\pi\approx 1{,}70,$$

и число $$1{,}70$$ лежит между $$\frac{\pi}{2}$$ и $$\pi,$$ где синус положителен. Сравним значения по положению аргументов на графике: $$2{,}1<7{,}98-2\pi,$$ значит,

$$\sin 2{,}1<\sin 7{,}98.$$

г) Сравним:

$$\left(\sqrt8+\sqrt5\right)^2=8+5+2\sqrt{40}=13+2\sqrt{40},$$

$$\left(\sqrt3+\sqrt{10}\right)^2=3+10+2\sqrt{30}=13+2\sqrt{30}.$$

Так как $$\sqrt{40}>\sqrt{30},$$ то

$$13+2\sqrt{40}>13+2\sqrt{30}.$$

Следовательно,

$$\sqrt8+\sqrt5>\sqrt3+\sqrt{10}.$$