Упр.19 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Перечислите основные свойства функции косинус.
- Пользуясь свойствами функции косинус, расположите в порядке возрастания числа:
а) $$\cos(0{,}3),\ \cos(-2{,}9),\ \cos(1{,}8)$$;
б) $$\cos(5{,}3),\ \cos(4{,}4),\ \cos(6{,}2)$$;
в) $$\cos(0{,}5),\ \cos(-1{,}3),\ \cos(3)$$;
г) $$\cos(6{,}1),\ \cos(3{,}5),\ \cos(4{,}9)$$. - Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\cos\left(x+\frac{?}{6}\right)$$;
б) $$y=-\cos(x)$$;
в) $$y=2\cos(x)-1$$;
г) $$y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$.
1) Основные свойства функции $$y=\cos x$$:
- область определения: $$D(x)=\mathbb{R}$$;
- область значений: $$E(y)=[-1;1]$$;
- функция чётная;
- период: $$T=2\pi$$;
- $$\cos x=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$;
- $$\cos x>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
- $$\cos x<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)$$;
- возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right]$$;
- убывает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$;
- наибольшее значение: $$1$$ при $$x=2\pi n$$;
- наименьшее значение: $$-1$$ при $$x=\pi+2\pi n$$, где $$n\in\mathbb{Z}$$.
2) Упорядочим числа по возрастанию, учитывая, что на отрезке $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, а на $$[\pi;2\pi]$$ возрастает:
- а) $$\cos(-2{,}9),\ \cos(1{,}8),\ \cos(0{,}3)$$;
- б) $$\cos(4{,}4),\ \cos(5{,}3),\ \cos(6{,}2)$$;
- в) $$\cos(3),\ \cos(-1{,}3),\ \cos(0{,}5)$$;
- г) $$\cos(3{,}5),\ \cos(4{,}9),\ \cos(6{,}1)$$.
3) Исследуем функции:
а) $$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$
$$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=[-1;1],\quad T=2\pi.$$
Функция чётная не является.
$$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
$$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right).$$
$$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{4\pi}{3}+2\pi n\right).$$
Возрастает на $$\left[-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right].$$
$$x_{\min}=-\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad y_{\min}=-1;$$
$$x_{\max}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad y_{\max}=1.$$
б) $$y=-\cos x$$
$$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=[-1;1],\quad T=2\pi.$$
Функция чётная.
$$y=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
$$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right).$$
$$y<0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right).$$
Возрастает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right].$$
$$x_{\min}=2\pi n,\quad y_{\min}=-1;$$
$$x_{\max}=\pi+2\pi n,\quad y_{\max}=1.$$
в) $$y=2\cos x-1$$
$$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=[-3;1],\quad T=2\pi.$$
Функция чётная.
$$y=0$$ при $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
$$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right).$$
$$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right).$$
Возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right].$$
$$x_{\min}=\pi+2\pi n,\quad y_{\min}=-3;$$
$$x_{\max}=2\pi n,\quad y_{\max}=1.$$
г) $$y=\cos\frac{x}{2}$$
$$D(x)=\mathbb{R},\quad E(y)=[-1;1],\quad T=4\pi.$$
Функция чётная.
$$y=0$$ при $$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
$$y>0$$ при $$x\in\left(-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right).$$
$$y<0$$ при $$x\in\left(\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right).$$
Возрастает на $$\left[-2\pi+4\pi n;\,4\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[4\pi n;\,2\pi+4\pi n\right].$$
$$x_{\min}=2\pi+4\pi n,\quad y_{\min}=-1;$$
$$x_{\max}=4\pi n,\quad y_{\max}=1.$$
