Упр.19 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Может ли быть рациональным числом: а) сумма двух иррациональных чисел; б) иррациональное число в иррациональной степени?

а) Да, может. Например, если взять два иррациональных числа $$1-\sqrt{2}$$ и $$1+\sqrt{2},$$ то их сумма равна

$$\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2,$$

а число $$2$$ — рациональное.

б) Да, может. Например, возьмём иррациональное число $$\sqrt{3}$$ и иррациональную степень $$2\log_3 5.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{3}\right)^{2\log_3 5}=3^{\log_3 5}=5,$$

то есть получается рациональное число.

Ответ: да, может в обоих случаях.