Упр.189 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

• а) $$\begin{cases}\sin(x)\cos(y)=0{,}25,\\ \sin(y)\cos(x)=0{,}75;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x-y=-\frac{1}{3},\\ \cos^2(?x)-\cos^2(?y)=0;\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}4\sin(x)\sin(y)=3,\\ \mathrm{tg}(x)\mathrm{tg}(y)=3;\end{cases}$$ г) $$\begin{cases}\sin^2(x)=\cos(x)\cos(y),\\ \cos^2(x)=\sin(x)\sin(y).\end{cases}$$

а) Сложим уравнения системы:

$$\sin x\cos y+\sin y\cos x=1.$$

Тогда

$$\sin(x+y)=1,$$

откуда

$$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из первого уравнения системы получаем

$$\sin x\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n-x\right)=\frac14.$$

Так как

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n-x\right)=\sin x,$$

то

$$\sin^2 x=\frac14.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-\frac12=\frac12.$$

Значит,

$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

то есть

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n-x.$$

Итак,

$$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n\right),\qquad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Из первого уравнения

$$y=x+\frac13.$$

Второе уравнение преобразуем:

$$\cos^2(\pi x)-\cos^2(\pi y)=0,$$

$$\bigl(\cos\pi x-\cos\pi y\bigr)\bigl(\cos\pi x+\cos\pi y\bigr)=0.$$

Используем формулы произведения в сумму:

$$-2\sin\frac{\pi(x+y)}{2}\sin\frac{\pi(x-y)}{2}\cdot 2\cos\frac{\pi(x+y)}{2}\cos\frac{\pi(x-y)}{2}=0,$$

откуда

$$\sin\bigl(\pi(x+y)\bigr)\sin\bigl(\pi(x-y)\bigr)=0.$$

Подставим $${y=x+\frac13}$$:

$$\sin\left(2\pi x+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Так как $$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\ne 0,$$ то

$$\sin\left(2\pi x+\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Следовательно,

$$2\pi x+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{n}{2}-\frac16,$$

$$y=\frac{n}{2}+\frac16.$$

Ответ:

$$\left(\frac{n}{2}-\frac16,\ \frac{n}{2}+\frac16\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Из первого уравнения

$$\sin x\sin y=\frac34.$$

Из второго уравнения, если $$\tg x$$ и $$\tg y$$ определены, имеем

$$\frac{\sin x\sin y}{\cos x\cos y}=3,$$

то есть

$$\cos x\cos y=\frac14.$$

Тогда

$$\sin x\sin y+\cos x\cos y=1,$$

значит,

$$\cos(x-y)=1,$$

откуда

$$x-y=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно, $$y=x-2\pi k,$$ и первое уравнение даёт

$$4\sin x\sin(x-2\pi k)=3.$$

Так как $$\sin(x-2\pi k)=\sin x,$$ получаем

$$4\sin^2 x=3,$$

$$\sin^2 x=\frac34,$$

$$\cos 2x=1-2\sin^2 x=1-\frac32=-\frac12.$$

Значит,

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Тогда

$$y=x-2\pi k.$$

Ответ:

$$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\qquad \left(\frac{\pi}{3}+\pi n+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi n-\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

г) Сложим уравнения системы:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=\cos x\cos y+\sin x\sin y=1.$$

Значит,

$$\cos(x-y)=1,$$

откуда

$$x-y=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда $$y=x-2\pi n,$$ и второе уравнение принимает вид

$$\cos^2 x=\sin x\sin(x-2\pi n)=\sin^2 x.$$

Следовательно,

$$\cos^2 x=\sin^2 x,$$

$$\cos 2x=0,$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}.$$

Тогда

$$y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}-2\pi n.$$

Ответ:

$$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}-2\pi n\right),\quad k,n\in\mathbb Z.$$