Упр.189 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$2^{\sin^2(x)}+4\cdot2^{\cos^2(x)}=6$$; б) $$3^{\lg(\tg(x))}-2\cdot3^{\lg(\ctg(x))+1}=1$$; в) $$4^{3+2\cos(2x)}-7\cdot4^{1+\cos(2x)}=4^{\frac{1}{2}}$$; г) $$(2\sin(x))^{\cos(x)}=1$$.

а) $$2^{\sin^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

$$2^{1-\cos^2 x}+4\cdot 2^{\cos^2 x}=6.$$

Положим $$y=2^{\cos^2 x}.$$ Тогда

$$\frac{2}{y}+4y=6,$$

$$4y^2-6y+2=0,$$

$$2y^2-3y+1=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

Если $$y=\frac12,$$ то

$$2^{\cos^2 x}=\frac12=2^{-1},$$

$$\cos^2 x=-1,$$

что невозможно.

Если $$y=1,$$ то

$$2^{\cos^2 x}=1,$$

$$\cos^2 x=0,$$

$$\cos x=0,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3^{\lg(\tg x)}-2\cdot 3^{\lg(\ctg x)+1}=1.$$

Так как $$\ctg x=\frac1{\tg x},$$ то

$$3^{\lg(\tg x)}-2\cdot 3\cdot 3^{\lg\left(\frac1{\tg x}\right)}=1.$$

Используем свойство $$3^{\lg a}=a$$:

$$\tg x-6\cdot \frac1{\tg x}=1.$$

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y-\frac6y=1,$$

$$y^2-y-6=0,$$

$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0.$$

Отсюда $$y=3$$ или $$y=-2.$$

Значит,

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-2.$$

Ответ:

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad x=\arctg(-2)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$4^{3+2\cos 2x}-7\cdot 4^{1+\cos 2x}=4^{1/2}.$$

Преобразуем:

$$64\cdot 4^{2\cos 2x}-7\cdot 4\cdot 4^{\cos 2x}=2.$$

Положим $$y=4^{\cos 2x}.$$ Тогда

$$64y^2-28y=2,$$

$$32y^2-14y-1=0.$$

$$D=14^2+4\cdot 32\cdot 1=324,$$

$$y_1=\frac{14-18}{64}=-\frac1{16},\qquad y_2=\frac{14+18}{64}=\frac12.$$

Так как $$4^{\cos 2x}>0,$$ значение $$y_1=-\frac1{16}$$ не подходит.

Остаётся

$$4^{\cos 2x}=\frac12=2^{-1}.$$

Но $$4^{\cos 2x}=2^{2\cos 2x},$$ значит

$$2^{2\cos 2x}=2^{-1},$$

$$2\cos 2x=-1,$$

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$(2\sin x)^{\cos x}=1.$$

Чтобы степень была равна $$1,$$ возможны два случая:

1. основание равно $$1$$: $$2\sin x=1,$$ тогда $$\sin x=\frac12,$$ и
2. показатель равен $$0$$: $$\cos x=0,$$ при этом основание должно быть положительным.

1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях $$2\sin x\neq -1,$$ поэтому решения подходят.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

б) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=\arctg(-2)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$