Упр.188 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=26,\\ x^{1/4}+y^{1/4}=6 \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^{1/3}-y^{1/3}=3\frac{3}{4},\\ xy=1 \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=5,\\ x^{1/4}-y^{1/4}=1 \end{cases}$$
4. $$\begin{cases} x^{1/3}+y^{1/3}=-3,\\ xy=8 \end{cases}$$

Обозначим:

• в пункте а) $$u=\sqrt[4]{x},\ v=\sqrt[4]{y}$$;
• в пункте б) $$u=\sqrt[3]{x},\ v=\sqrt[3]{y}$$;
• в пункте в) $$u=\sqrt[4]{x},\ v=\sqrt[4]{y}$$;
• в пункте г) $$u=\sqrt[3]{x},\ v=\sqrt[3]{y}$$.

а)

Имеем систему

$$\begin{cases} u^2+v^2=26,\\ u+v=6. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$v=6-u$$. Подставим в первое:

$$u^2+(6-u)^2=26$$

$$2u^2-12u+10=0$$

$$u^2-6u+5=0$$

$$(u-1)(u-5)=0$$

Отсюда $$u=1$$ или $$u=5$$. Тогда

$$(x,y)=(u^4,v^4)=(1,625)\ \text{или}\ (625,1).$$

б)

Система имеет вид

$$\begin{cases} u-v=3\frac{3}{4},\\ xy=1. \end{cases}$$

Так как $$xy=1$$, то $$v=\dfrac{1}{u}$$. Кроме того,

$$u-\frac{1}{u}=\frac{15}{4}.$$

Умножим на $$4u$$:

$$4u^2-15u-4=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289$$

$$u_{1,2}=\frac{15\pm 17}{8}$$

Получаем:

$$u_1=-\frac14,\qquad u_2=4.$$

Тогда

$$x_1=u_1^3=-\frac{1}{64},\qquad y_1=\frac{1}{x_1}=-64;$$

$$x_2=u_2^3=64,\qquad y_2=\frac{1}{x_2}=\frac{1}{64}.$$

Значит,

$$(x,y)=\left(-\frac{1}{64},-64\right)\ \text{или}\ \left(64,\frac{1}{64}\right).$$

в)

Система:

$$\begin{cases} u^2-v^2=5,\\ u-v=1. \end{cases}$$

Используем формулу разности квадратов:

$$(u-v)(u+v)=5.$$

Так как $$u-v=1$$, то $$u+v=5$$. Решаем систему

$$\begin{cases} u-v=1,\\ u+v=5. \end{cases}$$

Отсюда $$u=3$$, $$v=2$$. Тогда

$$x=u^4=81,\qquad y=v^4=16.$$

г)

Имеем

$$\begin{cases} u+v=-3,\\ xy=8. \end{cases}$$

Так как $$xy=8$$, то $$v=\dfrac{8}{u^3}$$, но удобнее заметить, что

$$u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v).$$

Из условия $$xy=8$$ следует $$u^3v^3=8$$, то есть $$uv=2$$. Тогда

$$u+v=-3,\qquad uv=2.$$

Следовательно, $$u$$ и $$v$$ — корни уравнения

$$t^2+3t+2=0$$

$$(t+1)(t+2)=0.$$

Значит, $$u=-1$$ и $$v=-2$$ или наоборот. Тогда

$$(x,y)=(-1,-8)\ \text{или}\ (-8,-1).$$

Ответ

а) $$(1;625),\ (625;1)$$;

б) $$\left(-\frac{1}{64};-64\right),\ \left(64;\frac{1}{64}\right)$$;

в) $$(81;16)$$;

г) $$(-8;-1),\ (-1;-8)$$.